un systême dont on trouvera le centre de gravité commun par les méthodes indiquées.

On apperçoit déja comment on pourroit s'y prendre pour trouver le centre de gravité d'un vaiffeau. D'abord comme les deux côtés AB, (fig. 32. ) d'un vaisseau doivent être fymmétriques, il s'enfuit que le centre de gravité doit fe trouver dans un plan élévé perpendiculairement fur la quille. Ce plan eft le plan d'équilibre du vaiffeau; & fi les vaiffeaux avoient une figure géométrique réguliere, les Mathématiques fourniroient des méthodes pour en trouver promptement le centre de gravité : mais comme ils font de forme très-irréguliere, il faudroit les divifer par parties qui approcheroient d'autant plus d'une figure réguliere, qu'elles feroient plus petites. Ayant trouvé le centre de gravité de chacune de ces parties, on en pourroit former un fyftême de corps graves dont on trouveroit le centre de gravité par les méthodes indiquées : mais cette maniere d'opérer feroit très-longue, très-pénible, & très-ennuyeufe. Il eft bien plus à propos de chercher, comme l'a fait M. Bouguer dans fon Traité du Navire, le centre de gravité des vaiffeaux par les momens: nous allons effayer de faire comprendre ce que les Mathématiciens entendent par ce terme.

I I L

Des Momens.

Le moment d'un corps grave ou d'une étendue confidérée comme un corps grave, eft le produit de ce poids ou de cette étendue multipliée par la distance du centre de gravité de ce corps, ou de cette étendue à un point qu'on place où l'on veut, & qu'on nomme centre du mo ment, ou à une ligne qu'on nomme axe du moment. Pour comprendre ceci, il faut fe rappeller la diftinction que nous avons faite entre la pefanteur abfolue d'un corps & fa pefanteur relative. On a vu que la

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fanteur relative d'un corps, ou fa pefanteur confidérée relativement à celle d'un autre corps ou d'un point augmente à mesure qu'on écarte plus ce corps du point d'appui, & qu'elle diminue à mesure qu'on l'en approche, pendant que la pefanteur abfolue de ce corps invariable. Or c'eft cette pefanteur relative que les Mathématiciens confiderent quand ils font ufage des momens en multipliant le poids ou l'étendue d'un corps par la distance de fon centre de gravité à un point ou à une ligne qu'ils placent à leur gré. Ainfi confidérant A, (fig. 33.) comme centre du moment du corps B; B multiplié par AB, eft le moment du corps B. Donnons des valeurs. B pefe 6 livres, la diftance de A à B est de 4; ainfi le moment du corps B relativement à A eft de 24. Autre exemple: B, (fig. 34.) pese toujours 6 livres, ainfi la diftance du point A étant 4, fon moment eft de 24. C pese auffi 6 livres, mais fa distance au point A eft 3, ainfi fon moment eft 18, & le moment des

deux corps eft 42.

Si les deux corps dans un même plan n'étoient pas dans une même direction, il n'y auroit rien de changé en les confidérant relativement à un axe A A (fig. 35. ); le moment de B, qui pefe 6 livres, fa distance à l'axe AA étant 4, feroit toujours 24; celui de C de même poids, fa distance à l'axe AA étant 3, fera 18, & le moment des deux corps 42.

J'ai dit qu'on pouvoit placer le centre ou l'axe des momens où on voudroit: ainfi on le peut mettre entre deux corps. En ce cas, fi on le place au point A, (fig. 36.) précisément entre les deux corps BC, qu'on fuppofe d'égal poids, 6 livres, par exemple, le moment de B étant 12, & celui de C également 12, les momens feront égaux, & le centre des momens fera placé au centre de gravité de ces deux corps. Mais fi on place le centre des momens en D, le moment de C étant 6 multiplié par 3 égal 18, & celui de B, 6 multiplié par 1 égal 6, il n'y aura plus d'équilibre.

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On commence à appercevoir la relation qu'il y a entre les momens & le centre de gravité; mais pour la faire encore mieux appercevoir, nous allons faire voir que la fomme des momens des corps qui compofent un fyftême, est égale au moment de tous ces corps réunis dans leur centre de gravité.

Si on multiplie tous les poids 6, 5, 8, 4, 10, 4, 10, &c. qui font diftribués le long de la verge AB, (fig. 37.) par leur distance au point A, qu'on regarde comme le centre des momens; fçavoir 6 par 1,5 par 2, 8 par 3, &c, & enfin 6 par 11, on aura pour produit de tous les momens 396. D'un autre côté, fi on additionne tous les poids qui font enfilés par la verge AB, fçavoir 6 plus plus 8 plus 4, &c. plus 6, on aura pour le poids de tous 66, qui étant multipliés par 6 distance du point C, (centre de gravité du fyftême) au point A (centre des momens), donneront 396 pour moment de la fomme de tous les poids réunis dans le centre de gravité, de même que quand on fait une fomme de tous les momens de chaque corps pris féparément : il est évident que cela doit être ; car puifque le point C eft le centre de gravité du fyftême, on doit confidérer tous les poids réunis en ce point, qui lui-même eft placé relativement au point A, de façon que tout ce que les poids diftribués depuis C jufqu'à B gagnent en énergie ou en force relative leur éloignement du point A, les poids diftribués depuis C jufqu'à A, le perdent fur leur énergie ou leur force relative particuliere.

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On voit par l'exemple que je viens de rapporter, que le moment du centre de gravité d'un fyftême de corps graves eft égal aux momens particuliers des corps qui forment ce fyftême. Mais il eft bon de faire remarquer que fi on confidere les momens d'un fyftême relative ment à un point A, (fig. 38.) qui foit dans le centre de gravité d'un des corps extrêmes de ce systême, il n'y aura rica de changé, finon qu'on n'aura point à opérer fur ce corps (par exemple), pour avoir fon moment,

qui sera égal à zéro. Ainfi en multipliant s par 1, on a 5; 8 par 2, on a 16; 4 par 3, on a 12; 41 par 5, on a 205; enfin 9 par 6, on a 54; total 292. Et en additionnant tous les poids 6, 5, 8, 4, 41, 9, on a 73, qui étant multipliés par 4, distance du centre du fyftême au point A, on aura pareillement pour le moment du centre de gravité du fyftême 292.

Si fans rien changer au fyftême AB, on confidere les momens par rapport à un point D, (fig. 39.) pris entre les corps du fyftême, tous les poids 8, 4,41,9, 6, 5, multipliés par leur distance au point D, d'où l'on confidere les momens, donneront un produit égal à celui de la fomme de tous les poids 6, 5, 8, 4, 41, 9, multipliés par la distance du centre de gravité C, du fyftême au point D, pourvu que dans la premiere fommation des momens on faffe attention que fi les uns font pofitifs à l'égard de D, parce qu'ils tendent à faire tourner verge AB dans un certain fens, les momens de l'autre côté du point D, font négatifs, parce qu'ils tendent à produire un effet contraire; ainfi la fomme de tous les momens particuliers eft formée dans ce cas-ci de l'addi tion de tous les momens qui agiffent, pour ainfi dire, d'un côté, & de la fouftraction des momens qui agiffent

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de l'autre.

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Suppofé que le point D foit exactement au milieu d'une partie, on aura 8x4, pour le moment du poids 8; 4×16, pour le moment du poids 4; 41 × 3 143, pour le moment du poids 41, & 9 x 4 = 405 pour le moment du poids 9. Nous trouverons de mê me 2, & 9 pour les momens des deux autres poids 5 & 6. Mais vu la différente maniere d'agir des uns & des autres, nous aurons pour leur fomme totale 4+6+143 1⁄2 +40-29= =182, laquelle fomme eft exactement égale au produit de la fomme 8+4+41 +9+ 5+673, multipliée par la diftance2 du centre de gravité, comme Cau point D: & il faut remarquer que pour avoir la fomme des poids, nous les prenons tous

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pofitivement: tous tendent vers le centre de la terre, & il n'y a pas la même distinction à faire à leur égard qu'à l'égard des momens particuliers qui fufpendent ici réciproquement l'effet les uns des autres.

Enfin fi on confidere les momens relativement à un point qui foit dans le centre de gravité d'un des corps E du systême, (fig. 40.) il eft évident que le corps E égal 8, n'aura pas de moment, puifqu'il faudra le multiplier par une diftance, qui eft nulle, & on appercevra qu'en multipliant les poids 4, 41, 9, 6, 5, par leur distance au point E, & en regardant comme fouftractifs les momens des poids 5 & 6, on aura le même produit qu'en multipliant la fomme de tous les poids 6, 5, 8, 4, 41, 9, par la diftance C du centre de gravité du fyftême au point E du centre des momens.

Maintenant puifqu'il eft (fig. 42.) prouvé en général que pour les poids g, f, e, &c. on a gxgD+fxfD +exeD+dxdĎ+cxc D+bxbD+axaƉ= (a+b+c+d+e+f+g) multiplié par HD; en un mot, que la fomme des momens particuliers de tous les corps qui composent un systême, est égale au moment total produit par la fomme de tous les poids multipliée par la distance du point D au centre de gravité H de tout le fyftême, il paroît évident que fi, on ignore le centre de gravité d'un fyftême, on le trouvera en divifant le produit de tous les momens par la fomme des poids qui forment le systême, ou, ce qui eft la même chose, fi les momens de plufieurs corps relativement à un point ou à une ligne, font divifés par les poids de ces corps, quotient fera la diftance du centre de gravité de ces corps au point ou à la ligne, à l'égard de laquelle on a confi déré les momens. Donnons en un exemple.

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On fuppofe qu'on ignore le centre de gravité du sys-. tême AB (fig. 42. ). Pour le trouver par les momens verge que je cherche par rapport à l'extrêmité A de la A B, après avoir multiplié s par 1,8 par 2, 4 par 3, 41 6, il faut diviser le produit, qui eft par 5, enfin 9 par 6,