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Kl. 46. Nr. 116398. Viercylinder-Viertaktmaschine. J. P. Murphy' Philadelphia (V. S. A.). Die Kolben ki, k2 und kз, ką je zweier Cylinder sind derart zu gemeinsamer Bewegung verbunden, dass k1 und kз durch Pleuelstangen l1 und ls unmittelbar entgegengesetzt gerichteten Kurbeln r, r1 angreifen, während k2 und k4 durch Stangen l und l bei d und d mit und lg verbunden sind. Die Ventile werden so gesteuert, dass je zwei über einander liegende Cylinder im abwechselnden Viertakte arbeiten, sodass bei jeder halben Umdrehung ein Krafthub eintritt.

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deutscher Ingenieure.

Kl. 47. Nr. 116403. Kolbenschieber. W. Buckley, Sheffield (Engl.). Um eine gefährliche Drucksteigerung bei übermäfsiger Verdichtung im Arbeitscylinder zu verhindern, werden im Kolbenschieber Kanäle angeordnet, die in der Abschlussstellung mit dem Eingange zum Arbeitscylinder in Verbindung stehen und durch Ventile geschlossen sind, die durch Innendruck gegen ihre Federbelastung geöffnet werden.

Kl. 47. Nr. 116235. Sellerssches Lager. R. Kablitz, Riga-Sassenhof. Die Befestigungsebene z zwischen Säule und Lagerkonsole d steht rechtwinklig zur Längsachse der Lagerschalen a, und die Bolzenlöcher i sind länglich, sodass das Lager nicht nur durch die Schrauben e senkrecht, sondern unter Aenderung der Ausladung auch in der Querrichtung genau eingestellt werden kann.

Kl. 47. Nr. 116282. Federnde Wellenkupplung. O. Scheiding, Völklingen a/Saar. Die eine Kupplungshälfte ist mit federbelasteten Druckbolzen e, die andere mit festen Mitnehmerbolzen g versehen, die durch Längsverschiebung in die Bahn von e gebracht werden können, sodass man die in beiden Drehrichtungen wirkende Kupplung leicht ein- und ausrücken kann.

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Kl. 87. Nr. 116169. Keilauszieher. H. Simon, Manchester (Engl.). mit viereckiger Längsöffnung a und seitlicher Aussparung d versehener Schraubenstutzen bc wird über die Keilnase g gesteckt und der Keil k durch Drehen der Mutter gelöst.

Kl. 63. Nr. 117443. Federndes Wagenuntergestell. H. F. Joel, London. Das Untergestell

abcdg ist am hinteren Ende mit den Enden einer senkrechten gebogenen Blattfeder e und am vorderen Ende mit den Enden einer wagerechten gebogenen Blattfeder h verbunden. Die beiden Federn sind mit ihrem mittleren Teil an der Mitte der Achsen befestigt.

Zuschriften an die Redaktion.

Die richtige Knickformel.

(Ohne Verantwortlichkeit der Redaktion.)

Hr. J. Kübler schliefst in Z. 1901 S. 565 mit vollem Recht, dass auf fachmännischer Seite Zweifel über die Richtigkeit der in Z. 1900 S. 738 gefundenen Ergebnisse seiner »richtigen<< Knick formel bestehen '), und sucht einen strengen Beweis seiner Hauptbeweispunkte zu geben.

Hierbei geht er aber von der falschen Voraussetzung aus, dass ein Stab, welcher auf Knicken beansprucht wird, wie ein elastischer Bogen mit Kämpfergelenken aufzufassen ist, und dass seine Mittellinie bei gegebenen Stababmessungen und für die Belastung P gleich dem Kämpferdruck eine ganz bestimmte Stützweite 2a und eine Pfeilhöhe ƒ annimmt.

1) Vergl. Z. 1900 S. 1132.

Es mag sein, dass ein Stab, der sich einmal unter einer Achsialkraft ausgebogen hat, die von Hrn. J. Kübler berechneten Pfeilhöhen annimmt; ist er aber noch vollkommen gerade und nicht ausgebogen, so spielt sich der Vorgang des Knickens ganz anders ab. Hierüber geben die Versuche von Prof. L. Tetmajer, veröffentlicht unter »>Die Knickfestigkeit der mittleren Streben und der Gütewert des Materials der Mönchensteiner Brücke« in der Schweiz. Bauzeitung Bd. XXI Nr. 16 vom 22. April 1893, klaren Aufschluss.

Daselbst ist angegeben, dass, so lange die spezifische Knicklänge (freie Stablänge gemessen mit dem betreffenden 1/2-667

i

Trägheitsradius) klein ist, im untersuchten Falle etwa

3,82

=

22. Juni 1901.

Zuschriften an die Redaktion.

= 87,3, der gedrückte »Stab bis nahe an die Knickgrenze fast unbeweglich, d. h. gerade, bleibt, um dann unter der Gröfstlast »ziemlich plötzliche Knickung« zu zeigen; wächst jedoch die Länge, so bleibt der Stab so lange gerade, bis die angreifende Kraft so grofs geworden ist, dass sie sich zur schliefslichen Gröfstkraft verhält wie die Streckgrenze zur Zugfestigkeit. Von diesem Zeitpunkte an biegt sich der Stab langsam mehr und mehr aus, wobei aber seine Tragfähigkeit immer noch wächst. Dieses Verhalten ist ganz deutlich bei der spezifischen Knicklänge von =216,6, während beim Verhält

nis

=

667 3,82

=

667 3,08

174,6 der eine Stab plötzlich knickt, die beiden andern aber allmählich ihr Tragvermögen verlieren. den Fällen aber findet der Vorgang des Knickens so statt, dass In beidie Stabmittellinie lange Zeit gerade bleibt und verhältnismäfsig erst spät eine wahrnehmbare Ausbiegung zeigt.

Hr. J. Kübler wird vielleicht erwidern, dass die von ihm berechneten Pfeilhöhen für kleine Kräfte so gering sind, dass sie sich nicht messen lassen. Dies ist jedoch nicht der Fall. Sucht man nämlich für die von Prof. Tetmajer untersuchten Stäbe die betreffenden Werte zu bestimmen, so ergiebt sich Folgendes:

Geprüft wurden Kreuzstreben aus 2 Winkeleisen von 100 100 14 mm mit einer Fläche von F= 52,3 qcm, einem kleinsten Trägheitshalbmesser von i=3,82 cm und einer freien Knick länge von = 667 cm, sowie solche aus 2 Winkeleisen von 80 × 80 × 11 mit F=33,0 qcm, i= 3,08 cm und /= 667 cm. Der Vorgang des Knickens ist für beide Arten genau angenl

P= 3,0 t: VP=1,732; sin

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sin 0,3578 = sin 20° 30'

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Die Versuche aber zeigen, dass bis im mittel 10,3 t die Durchbiegung des Stabes gleich null ist und dass für die Knickkraft von im mittel 17,89 t der Biegungspfeil im mittel nur 6,7 cm, also noch weniger als der oben für 12 t berechnete, beträgt:

In gleicher Weise ergiebt sich für Kreuzstreben 100×100 > 14:

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0,350; siny =

0,245; tgv=

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0,485; 0,581; 0,656;

=

0,470; 0,675;

= 3,821,414 =

0,252; f=1,10 cm; 0,533; 0,914;

= = 1,692;

=

=

= 7,38 >>

=

5,40 cm; F 52, 3 qcm; E = 2091 t'qem

a) Für frei bewegliche Enden

wird nun = 667 cm, unl

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=

- 0,861;

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0,1320VP,

4 3,82 52,3 2091

und für

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In diesem Falle blieben die Stäbe bis zur Bruchlast von im mittel 64,25 t »fast unbeweglich«, während die Schlussausbiegungen 6 und 14 cm betrugen.

Man erkennt also deutlich, dass die auf Seite 566 abgedruckten Abminderungswerte mit der Wirklichkeit nicht übereinstimmen können, denn sie gründen sich auf einen Biegungspfeil der Stabmittellinie, welcher sich bei keinem Versuche gezeigt hat. Noch augenscheinlicher ist der Beweis, dass die Küblerschen Abminderungswerte für die Praxis unzulässig grofse Stabquerschnitte ergeben würden, in der folgenden Figur geleistet.

Vervielfacht man nämlich die Küblerschen Abminderungswerte mit 3,500 t/qcm, so erhält man die Inanspruchnahmen für die Flächeneinheit, welche den Bruch herbeiführen würden, und zwar für Schweifseisen.

Prof. L. Tetmajer hat nun in der Schweizerischen Bauzeitung Bd. XVI Nr. 18 eine zeichnerische Darstellung von Knickversuchen für Schweifseisen veröffentlicht (wiederholt ebenda Bd. XXI Nr. 16), auf der als Abszissen die Werte und als Ordinaten die spezifischen Spannungen unter der Bruchlast angegeben sind. Trägt man die Küblerschen Werte (kräftige

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Linien) in diese Zusammenstellung ein, so lehrt ein Blick, dass sie mit der Wirklichkeit viel weniger gut als die Eulersche, Schwarz-Rankinesche oder Tetmajersche Formel (feine Linien) übereinstimmen.

Die Knickfrage ist also leider immer noch nicht mathematisch übereinstimmend mit allen Versuchsresultaten unumstöfslich gelöst worden, und es wird voraussichtlich noch eine lange Zeit vergehen, bis für sämtliche Ingenieure nur eine einzige Knickformel Geltung hat. Benrath, den 10. Mai 1901.

Verehrliche Redaktion!

Ing. Md. Kinkel.

Aus Vorstehendem ersehe ich, dass trotz meiner mathematischen Beweisführung immer noch Zweifel an der Richtigkeit meiner Knickformel bestehen.

Der Grund hiervon mag darin liegen, dass zur klaren Erkenntnis des Vorganges bei der Knickung eine besondere Vertrautheit mit dem elastischen Bogen Vorbedingung ist. Ich komme aber durchaus nicht auf den elastischen Bogen durch eine willkürliche Voraussetzung, wie Hr. Kinkel meint, und von der er ohne weiteres behauptet, dass sie falsch sei, sondern ich setze nichts weiter voraus, als dass man es mit einem elastischen Stab zu thun hat; alles übrige ergiebt sich damit notwendigerweise von selbst, wie die folgende Betrachtung zeigt.

Wird der ursprünglich gerade und elastische Stab von der freien Knicklänge zentrisch gedrückt mit P, so wird er jedenfalls durch diesen Druck kürzer. Mit meinen früheren Bezeichnungen wird seine ursprüngliche Länge dadurch zu 2a werden, vorausgesetzt, dass der Stab nicht ausböge, also keinen Pfeil ƒ annähme, in welch besonderem Fall also f 0 wäre. Im allgemeinen aber biegt der Stab erfahrungsgemäfs auch noch durch um einen Pfeil f, sodass also im allgemeinen unter 2a die Sehne des gedrückten Bogens zu verstehen ist. Um allgemein genug zu bleiben, ist man also gezwungen, eine Biegung f anzunehmen, die für den Sonderwert f=0 verschwindet. Man könnte sich wohl einen Stab vorstellen, dessen Achse eine mathematische Gerade bildet, die gleichzeitig auch noch vollkommene Symmetrieachse wäre inbezug auf seine physische Beschaffenheit; der Gleichgewichtzustand dieses Stabes wäre aber, selbst bei vollkommen zentrischem Druck, doch nur labil und müsste beim geringsten Anlass in den stabilen übergeführt werden. Weil in Wirklichkeit nichts mathematisch vollkommen ist und allein nur auf den stabilen Gleichgewichtzustand mit Sicherheit gerechnet werden kann, so ist man also genötigt, im allgemeinen eine Biegung anzunehmen, wie dies auch durch die Erfahrung rückhaltlos bestätigt wird.

Ist der Pfeilf auch noch so klein, ja selbst gleich null, so kann dies nichts daran ändern, dass der zentrisch gedrückte Stab im allgemeinen also ein elastischer Bogen ist vom Pfeil f, der Stützweite 2a und dem Kämpferdruck P. Verstehe ich jetzt noch unter die freie Knicklänge, so nehme ich damit an, dass in den Stabenden niemals Momente auftreten, dass daselbst also vollkommene Gelenke vorhanden sind. Es ist damit 2a nicht nur die Stützweite des gedrückten elastischen Bogens, sondern ganz allgemein als die Entfernung zweier aufeinander folgender Schwingungsknoten der bekannten Wellenlinie aufgefasst, wodurch die sonst noch üblichen Nebenbetrachtungen inbezug auf die Art der Einspannung in Wegfall kommen.

Mit der Annahme eines elastischen Stabes von der freien Knicklänge kommt man also notwendigerweise ganz von selbst zum elastischen Bogen mit Kämpfergelenken von der Stützweite 2a, dem Kämpferdruck P und endlich allgemein dem Pfeil f, der im besonderen Fall auch gleich null sein kann.

In diesem Zustand des gedrückten Stabes erleidet aber seine Mittellinie eine der Zusammendrückung entsprechende Druckspannung, und die Gleichung der gedrückten Stabmittellinie ist, wenn im allgemeinen f nicht gleich null angenommen wird:

y=1(1-cos nsV).

Man kann nun durch eine künstliche Querbelastung, welche nach bestimmtem Gesetz auf die Stablänge / verteilt ist, den Stab weiter durchbiegen. Wird diese senkrecht zur Achse gerichtete Belastung p so gewählt, dass unter Beibehaltung der Stützweite 2a dadurch die Stabmittellinie genau in spannungslosen Zustand versetzt wird, so wird dadurch der Pfeil von im allgemeinen ƒ auf V22 +12 vergrössert.

=

deutscher Ingenieure.

Gleichung: ' √2i2 + †2 (1—cos ns). Weil jetzt die Stabmittellinie spannungslos ist, so muss der Kämpferdruck zu null geworden sein, und im Stab herrschen nur noch Momente von der Gröfse

M' = P (√ 2 î2 + ƒ1 — y') = P√ 2 ï2 +f2 cosns√,

aber sonst kein Druck mehr.

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gesetzt wird, dass damit die eigentliche Druckspannung in die Gleichung der deformirten Stabmittellinie aufgenommen worden ist. Dies ist aber bei der Knickfestigkeit ganz besonders wesentlich, denn sonst kommt man auf die Eulersche Formel, die weil sie nur die eigentlichen Biegungsspannungen inbetracht zieht gerade für die gewöhnlich in der Praxis vorkommenden Fälle widersinnige Ergebnisse liefert1). Ich komme nun zum Schluss noch auf die vergleichenden Berechnungen zu sprechen, zu sprechen, welche Hr. Kinkel anstellt zwischen meiner Formel und einigen Versuchsergebnissen. Vorausgesetzt, dass diese Rechnungen richtig sind, was ich nicht kontrollirt habe, so würde daraus doch nur geschlossen werden müssen, dass die Voraussetzungen, welche bezüglich der freien Knicklänge bei der Herleitung der betreffenden Versuchswerte gemacht worden sind, nicht zutreffen. Denn auch bei der allersorgfältigsten Stützung der Stabenden tritt dort, vom Druck P selbst erzeugt, immer eine gewisse Reibung auf, die wenn auch noch so klein gehalten niemals ganz auf null gebracht werden kann. Diese Reibung aber erzeugt dort Anfangsmomente, wodurch die freie Knick länge mehr oder weniger beeinträchtigt, d. h. entsprechend verkürzt wird.

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Eine solche vergleichende Rechnung wäre also wohl geeignet, die durch die Stützung hervorgerufenen Anfangsmomente in den Stabenden zu bestimmen; sie kann aber keineswegs dazu dienen, die Richtigkeit meiner Formel zu bemängeln.

Esslingen, 20. Mai 1801.

Geehrte Redaktion!

Kübler.

Im Einverständnis mit Hrn. Kriemler, Karlsruhe, erkläre ich, dass die in Z. 1901 S. 565 veröffentlichte neuerliche Abhandlung des Hrn. Kübler in keiner Weise die Einwendungen widerlegt, welche von Hrn. Kriemler und mir in Z. 1900 S. 1132 gegen die Küblersche Theorie erhoben worden sind. Wir halten diese Einwendungen in vollem Umfange aufrecht. Hochachtungsvoll

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1) Vielleicht ist das Vorgesagte leichter verständlich, wenn ich es wie folgt ausdrücke: Man erteile dem ursprünglich geraden und spannungslosen Stab in seinen verschiedenen Querschnitten s künstlich die Momente M' = P(' — y'). Dadurch biegt er durch und seine Mittellinie nimmt eine Bogenform an (die gestrichelte!) von der Sehne 2a. und der Pfeilhöhe f', deren geometrische Gleichung y'f' (1-cos ns]) ist. Hält man hierauf die Stabenden gelenkartig fest, sodass die Stützweite 2a unverändert beibehalten bleibt, aber keinerlei Momente in den Stützpunkten auftreten können, und überlässt den so vorbereiteten Stab jetzt vollständig sich selbst, dann muss er mit den dadurch hervorgebrachten Kräften ins Gleichgewicht kommen. Er hat das Bestreben, seine ursprünglich gerade Gestalt wieder anzunehmen, wird daran aber verhindert durch die gelenkartige Festhaltung seiner Enden und muss infolgedessen dort den bestimmten Kämpferdruck P hervor. rufen. Die Mittellinie des 80 von selbst geschaffenen elastischen Bogens nimmt infolgedessen den etwas kleineren Pfeil f an, und ihregeometrische Gleichung ist y = f (1— cos ns ). Damit der Kämpferdruck P identisch mit dem Druck P des zentrisch gedrückten Stabes. werde, muss aber der künstlich erzeugte Pfeil f = V 2 i2 + f2 gewesen. sein, wenn für den thatsächlichen Zustand des gedrückten Stabes Gleichgewicht bestehen soll.

In diesem spannungslosen Zustand ist in meiner früheren Figur die Stabmittellinie gestrichelt dargestellt und hat die Kommissionsverlag und Expedition Julius Springer in Berlin N.

Selbstverlag des Vereines

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