betonschiffe eine hindernde Rolle; hier wird aber trotzdem die zur Fortbewegung erforderliche Kraft keine sehr große Erhöhung erfahren, da bei der geringen Geschwindigkeit der Reibungswiderstand den weitaus größeren Teil des gesamten Arbeitsaufwandes erfordert. In seinen gesamten technischwirtschaftlichen Grundlagen liegt das Eisenbetonschiff dem Holzschiff wesentlich näher als dem Eisenschiff; die Tatsache, daß in vielen Gegenden das Holzschiff in der Flußfahrt noch vorherrschend ist, eröffnet dem Eisenbeton-Flußschiff günstige Aussichten.

Der vorliegende Versuch einer Analysierung der technisch-wirtschaftlichen Grundlagen des Eisenbetonschiffbaues kann nicht als endgültig angesehen werden. Es ist nicht ausgeschlossen, daß sich die zugrunde gelegten Annahmen bei günstiger Entwicklung bedeutend verbessern. »>Die endgültige Experimentation heutiger Technik«, führt Rathenau in einer seiner Schriften aus, »erfolgt in Lebensgröße; ihre

deutscher Ingenieure.

Methode ist versuchsweiser Großbetrieb. Es darf als erwiesen gelten, daß die Anlaufzeit einer neuen Technik nicht sieben Jahre, wie man früher annahm, sondern etwa 10 bis 12 Jahre beträgt, und daß der gleichzeitige Kapitalaufwand erheblich die Beträge übersteigt, die man noch vor kurzem als ausreichend erachtete.<<

Diese Worte haben für den Eisenbetonschiffbau volle Gültigkeit. Die Eisenbeton-Schiffbautechnik stellt zurzeit ein Gebiet derartiger Experimentation dar; sie ist praktisch erst 2 bis 3 Jahre alt und hat noch viel Zeit, sich auszubilden. Man darf nicht erwarten, daß sie den ein halbes Jahrhundert alten Eisenschiffbau, der sich noch ständig weiter entwickelt, kurzerhand beiseite drängt; wahrscheinlich erscheint, daß man zunächst Pontons und langsam fahrende Schiffe bauen und daß der Eisenbetonschiffbau sein Gebiet langsam erweitern wird; die Grenze zwischen Eisenbetonschiffen und Flußeisenschiffen kann nur durch die Entwicklung festgelegt werden.

Das Auftreten der Lavalschen Dampfturbine lenkte vor etwa 25 Jahren die Aufmerksamkeit der Ingenieure auf die kritische Drehzahl rasch umlaufender durch nicht völlig zentrierte Schwungmassen belasteter Wellen. Diese Erscheinung wurde durch die voneinander unabhängigen Untersuchungen von Dunkerley) und A. Föppl3) rechnerisch und versuchsmäßig aufgeklärt, wonach die kritische Drehzahl mit der Zahl der elastischen Querschwingungen der Welle übereinstimmt. Dasselbe gilt übrigens auch für die lange vorher bekannten kritischen Drehzahlen völlig zentrierter unbelasteter Wellen unter der Wirkung ihrer Eigenmasse. Nun fand neuerdings Stodola) bei wagerecht gelagerten belasteten Wellen eine neue kritische Drehzahl von ungefähr halber Größe der normalen, die bei lotrechter Aufstellung unter sonst gleichen Umständen verschwand. Er konnte sie auch auf theoretischem Wege auf die Gewichtwirkung der Schwungmasse, die naturgemäß bei lotrechten Wellen wegfallen muß, zurückführen. Da seine auf der Relativbewegung des Schwungmassenschwerpunktes in einer gleichförmig rotierenden Ebene beruhende Theorie auf Widerspruch ") gestoßen ist, so soll die Aufgabe hier in Anknüpfung an die Föp plsche Behandlung) durch Verfolgung der Absolutbewegung gelöst werden. Es wird sich zeigen, daß dieser Weg ebenso rasch wie sicher zum Ziele führt und alle Mißverständnisse ausschließt.

2) Die gleichförmig rotierende Welle mit einer Schwungmasse.

Bei der Drehung der mit einer Schwungmasse m belasteten Welle werden im allgemeinen sowohl das Wellenmittel M, als auch der davon um a entfernte Massenschwerpunkt S Ablenkungen aus ihren Ruhelagen erfahren. Bezeichnen wir in der Normalebene, Abb. 1, zur Welle durch S den Durchstoßpunkt der Verbindungsgeraden der Lagermitten mit 0, so greift am Punkte M die nach O gerichtete, dem Ausschlage OM=r proportionale Federkraft P = a2r an. In S selbst dagegen wirkt die in die Ebene fallende Komponente des Gewichtes mg, die sich mit dem Neigungswinkel 6 der Welle gegen das Lot zu Y mg sins berechnet. Mit den Koordinaten z und y des Schwerpunktes S sowie dem Neigungswinkel ф der Exzentrizität MS = a gegen die Wagerechte durch den Anfang O lauten dann unter vorläufiger Vernachlässigung der Eigenmasse der Welle die Bewegungsgleichungen:

dt2

m

a2 a2 (x (x — a ‹ a cos x)

(1).

Ist ferner koder polare Trägheitshalbmesser der Schwungmasse um S, so ergibt sich mit den Loten O A / und SB-h aus der Aehnlichkeit der Dreiecke OAM=SBM die Beziehung hrala (xsing-ycosy)

und daraus, wenn die äußeren Drehmomente an der Welle sich aufheben, die Momentengleichung um 0:

a cos q)2 + (y a sin q)? nimmt diese Energiegleichung die einfache Form

(3),

0.

m(vdv + ko3wdw) + a2rdr + mg sin ßdy 0. (4) an, in der sie von vornherein hätte angeschrieben werden können, so daß hierin eine Bestätigung der Richtigkeit der Ansätze (1) und (2) liegt. Ferner erhellt aus der Momentengleichung (2), daß die Winkelgeschwindigkeit der Schwungmasse nur solange unverändert bleibt, als mit Wegfall des Hebelarmes h der Federkraft die drei Punkte 0, M, S dauernd auf einer Geraden liegen. Alsdann aber ist X (a + r) cosy, y = (a + r) sing.

und daraus mit konstantem o

d2x

dt?

d3y

d t2

Führen wir diese Ausdrücke in die Bewegungsgleichun gen (1) unter Benutzung der Abkürzung

15. März 1919.

d t2

dt

tg po

+wo3x = wo3a (cos(wt+ 80) +

2

εα

w

woa (sin(w t+90) + (sir (wt+go)

π

COS

2 w

2

(13a).

Die vollständigen Integrale dieser Gleichungen zerfallen in je eine Eigenschwingung von der Form A cos wot+Bsin wot und erzwungene Schwingungen von den Perioden der rechts stehenden Störungsglieder. Die Eigenschwingungen werden nun durch die stets vorhandenen Reibungswiderstände nach einiger Zeit ausgelöscht. Man pflegt sie gewöhnlich durch Hinzufügung von Dämpfungsgliedern der Formen 2x bezw... dy' 2 x zu den linken Seiten der Schwingungsgleichungen zu berücksichtigen, was indessen nur für langsame Bewegungen zulässig erscheint. In unserem Falle dürfte der Widerstand vielmehr abgesehen von einem der reinen Drehung zugehörigen konstanten Gliede mit dem Quadrat der Schwerpunktsgeschwindigkeit v2 = v2+", wachsen, so daß man in 2 Vx2 1'y den beiden Bewegungsrichtungen die Widerstandskomponenten 2 x v2 2 × vvx bezw. 2xvvy erhält. Betrachtet man nun vals nahezu unveränderlich, so ergeben sich daraus wieder reine. Dämpfungsglieder, die stets zu einem Abklingen der mit dem Faktor e behafteten Eigenschwingungen führen, während das konstante Reibungsmoment vom außen zugeleiteten Drehmoment der Welle zu überwinden ist. Führen wir daher die Dämpfungsglieder in unsere Gleichungen (13) ein, so erhalten wir:

w (wo2 — w2)2 + 4 x2 v2 w2 — 4 (∞o2 — 4 w2)2 + 16 x2v3ar Mit der unserer Entwicklung zugrunde liegenden Annahme hoher Winkelgeschwindigkeiten @, großer Trägheitshalbmesser ko der Schwungmasse und kleiner Abweichung ihres Schwerpunktes vom Wellenmittel wird der Wert & nach Gl. (11) stets so klein, daß wir im Ausdrucke für b1 das Quadrat & gegen @ vernachlässigen dürfen, womit dann der Radius des Grundkreises nahezu unabhängig von ɛ, d. h. von der Schwere wirkung der Schwungmasse wird. Dieser Radius besitzt einen Höchstwert in der Nachbarschaft der kritischen Drehzahl wwo, für die er bei verschwindendem Widerstandsbeiwert sogar unendlich groß werden würde.

Demgegenüber liegt der Höchstwert des Halbmessers ba des zweiten Kreises in der Nähe von 1/2wo und würde für diese Drehzahl bei verschwindendem

also ein endlicher Wert im Gegensatz zu dem hierfür unendlichen Ausschlag bei widerstandsfreier Bewegung. Immerhin ist dieser Betrag im allgemeinen viel größer als der vorhergehende Höchstwert für ∞ = 0,5 ∞, vergl. Abb. 5. Der Wegfall der Schwerewirkung schließt übrigens noch keineswegs Schwingungserscheinungen um die dynamische Gleichgewichtslage, Gl. (17), aus. Denn in diesem Falle darf in Gl. (2b) das von der Richtung der Welle unabhängige erste Glied wohl nicht mehr vernachlässigt werden und ergibt dann die zur Entstehung von Schwingungen notwendigen Schwankungen der Winkelgeschwindigkeit. Da das hiervon herrührende Moment stets den Winkel y des Fahrstrahls r'mit der Exzentrizität a zu verkleinern strebt, Abb. 3, so kommen auch nur Schwingungen, nicht aber beliebig anwachsende Ausschläge in Betracht, womit zugleich die Stabilität der gleichförmigen Wellendrehung erwiesen ist.

Gl. (19) bestehen und bestimmt somit die gemeinsame kritische Drehzahl wo aus den kritischen Drehzahlen ww2.. beliebig auf der Welle sitzender Massen m,mą . ohne jede Rücksicht auf Exzentrizitäten. Für diese von Dunkerley a. a. O. lediglich aus Versuchen abgeleitete Formel können wir wegen Gl. (18b) auch schreiben:

Da man sich in Umkehrung unseres Gedankenganges alle diese Massen an irgend einer Stelle der Welle durch eine einzige Masse ersetzt denken kann, so wird auch diese bei wagerechter oder geneigter Lagerung eine Gewichtwirkung ausüben, die in einer zweiten kritischen Drehzahl vom Betrage 0,5 wo zum Vorschein kommt. Man übersieht sofort, daß diese Ergebnisse besonders bedeutungsvoll sind für das Verhalten durch Kreiselradscheiben vielfach belasteter Wellen von Dampfturbinen, Turbogebläsen und Schleuderpumpen, deren unbedingt zu vermeidende kritische Drehzahlen sich nunmehr leicht berechnen lassen.

Als Beispiel wollen wir die kritische Drehzahl einer unbelasteten zylindrischen Welle ermitteln, die sich auch auf ganz anderem Wege feststellen läßt. Ist die Länge zwischen den drehbar gedachten Lagermitten, F der Querschnitt, Fk2 sein Trägheitsmoment um die neutrale Achse, E der Elastizitätsmodul, so entspricht der Belastung Q im Abstandez yon einem Ende die Durchbiegung ʼn nach der Formel

woraus

folgt.

=

Anderseits ist das Massenelement mit dem spezifischen Gewicht des Materials

Gehen wir dagegen von der Durchbiegung durch die Fliehkraft aus, so entspricht dieser eine Belastung der Längeneinheit

Diese hängt ferner mit dem Biegungsmoment M und der Querkraft T zusammen durch die Beziehung

oder.

a2

(m' + m'' + . .) w。2 2

Hierin bedeuten aber die Quotienten

a2

die reziproken Quadrate der kritischen Drehzahlen der Einzelmassen, wenn jede derselben allein vorhanden wäre, so daß also

die Differentialgleichung der elastischen Linie ist. Deren Integral lautet mit Rücksicht auf die Grenzbedingungen für

1) Z. 1914 S. 878. Krause führt auch den nachstehenden Vergleich für die glatte, frei aufliegende, sowie für die einseitig und beiderseitig eingespannte Welle durch, verzichtet aber auf eine Verbindung der Ergebnisse mit den Drehzahlen der Einzellasten.