a

Gestalt, z. B. auf Drehkörper und Kreisöffnungen, anwendbar sind, lehrt die Erfahrung. Für den einfachsten Fall des Ausflusses aus der kreisförmigen Bodenöffnung eines unendlich weiten Gefäßes ist die Uebereinstimmung auch rechnerisch nachgewiesen worden1). Vor allem aber können wir uns folgendes überlegen. Wenn wir in unseren Gleichungen (I) und (II) und den voraufgegangenen Ableitungen an Stelle von b, a, a' Flächengrößen F, Fa, Fa eingeführt denken, nämlich: Querschnitt des Gefäßes, Größe der Oeffnung in der Draufsicht und Projektion der Oeffnung auf die Vertikalebene senkrecht zur Ebene des Strahles, so behalten die Gleichungen ihre Gültigkeit. In den Integralen V. und V, (Gl. III) müssen wir nur für dx und dy die entsprechenden Projektionen dF und d F, des Flächenelementes einsetzen. Man sieht daraus, daß die Gestalt des Gefäßes den Wert von nur insoweit beeinflußt, als durch sie die Verteilung der Zuflußgeschwindigkeiten längs der Gefäßwände verändert wird. Bei kleinem Mündungsverhältnis F.: F wird dieser Einfluß in der Regel nicht groß sein. In dem besondern Fall der Bordaschen Oeffnung, den wir aus diesem Grund auch vorangestellt haben, erweist sich die Unabhängigkeit von der Querschnittsgestalt bei beliebigem Mündungsverhältnis als vollständig. Denn hier ist auf alle Fälle F0, und die Gleichung (13') gilt, wenn F.: Fan Stelle von a:b gesetzt wird, mit voller Strenge für Gefäße und Oeffnungen von beliebiger Gestalt. 5) Durch das Vernachlässigen der unmittelbaren Schwerewirkung werden ebenfalls größere mathematische Schwierigkeiten vermieden. Natürlich wird der Verlauf des Strahles unter dem Einfluß der Schwere ein ganz andrer, als wir ihn in unserer Abb. 1 und in den oben stehenden Rechnungen angenommen haben. Der wirkliche Strahl muß sich allmählich senkrecht nach abwärts wenden, sich da bei mehr und mehr verengen und schließlich ganz in Tropfen zerfallen. Aber es fragt sich für uns nur, ob die Ausflußzahl dadurch wesentlich verändert wird, daß wir uns den Strahl, statt frei fallend, durch einen Kolbenüberdruck ausgepreßt denken. Dies muß nach allen Beobachtungen verneint werden. Es zeigt sich nämlich, daß schon in sehr geringer Entfernung unterhalb der Oeffnung, bevor noch die eben erwähnten Veränderungen eintreten, die ein zelnen Stromfäden des Strahles nahezu parallel sind, gleiche Geschwindigkeit v1 und keinerlei Ueberdruck aufweisen. Anderseits führt auch die Theorie zu dem Ergebnis, daß die streng genommen erst in unendlicher Entfernung eintretenden Verhältnisse: gleichmäßiges v = v1 sehr bald annähernd verwirklicht sind. daß für unsere ganze Rechnung von dem Strahl selbst nur ein ganz kurzes Anfangsstück in Betracht kommt, auf dem eben der Einfluß der Schwere sich noch nicht stark geltend machen kann. Für die Bewegung im Innern des Gefäßes sind aber Schwere-Potential und Druck ganz gleichwertig.

und p 0, schon

Daran liegt es,

Eine niemals streng erfüllte Annahme, die unter unseren Voraussetzungen nicht ausdrücklich angeführt wurde, besteht darin, daß die Oeffnungen im Ausflußgefäß vollkommen scharfkantig sein müssen. Eine Abrundung der Mündungskanten wirkt wie eine kurze Führung des Strahles und erhöht daher die Ausflußzahl. Daher erklärt es sich, daß man bei weniger sorgfältigen Versuchen eher zu große als zu kleine Werte für erhält. `

II. Allgemeine Durchführung der Rechnung. 1) Rechnungsregeln für komplexe Zahlen. Wir werden im folgenden einige Regeln über das Rechnen und Konstruieren mit komplexen Größen verwenden, die wir, um die weiteren Entwicklungen nicht zu unterbrechen, vorweg kurz zusammenstellen. Zwei komplexe Größen werden bekanntlich addiert, indem man ihre reellen und ihre imaginären Bestandteile für sich addiert. Stellt man die Größe z = x + yi durch den Vektor OZ dar, x+yi wobei O die Koordinaten o, o, der Punkt Z die Koordinaten x, y hát, so kann man auch sagen: Komplexe Zahlen werden addiert, indem man die entsprechenden Vektoren wie Kräfte zusam

deutscher Ingenieure.

Wir nennen kurz r die Länge und den Winkel der komplexen Zahl z. Aus der Formel folgt die Multiplikationsregel: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Längen multipliziert, ihre Winkel addiert. Eine positive reelle Zahl hat den Winkel 0, eine rein imaginäre mit positiver Vorzahl den Winkel 90° oder im Bogenmaß 7: 2. Multiplikation mit i bedeutet daher eine Drehung des Vektors um 90° im positiven Sinn. Der reziproke Wert von z hat die Länge 1:r und den Winkel 9. Ist insbesondere die Länge r = 1, so ist der dem reziproken Wert entsprechende Vektor das Spiegelbild von OZ bezüglich der x-Achse. Bildet man für beliebige z den Ausdruck

so entspricht hicht nur allen reellen Werten von z ein reelles z', sondern auch solchen Werten von z, die zwar komplex sind, aber die Länge 1 haben. Im letzteren Fall hat z' den Wert (cos + sin 9 i) + (cos 9 sin û i) 2 cos, ist also kleiner als 2. Wenn wir in Abb 3 mit dem Mittelpunkt O und dem. Halbmesser 1 den Halbkreis ABC zeichnen und zu einem beliebigen Punkt Z des Linienzuges OABCO den entsprechenden Punkt Z' suchen, so daß OZ' die nach Gl. (14) bestimmte komplexe Zahl z' darstellt, so erhalten wir lauter Punkte auf der reellen Achse. Einem Punkt des Kreisbogens entspricht ein zwischen −2 und + 2 liegendes Z', einem Punkt des Durchmessers ein außerhalb dieser Strecke liegender Punkt, insbesondere dem Mittelpunkt O der unendlich ferne Punkt Man sagt, durch die Gleichung (14) werde der geschlossene Linienzug OABCO auf die reelle Achse » abgebildet«. Sucht man das Zi' zu einem innerhalb des Halbkreises gelegenen Z1, so gelangt man stets zu einem Punkt mit negativer Ordinate. Denn für ein r<1 überwiegt in Gl. (14) der zweite, abwärts gerichtete Bestandteil. Man sagt daber auch, das Innere des Halbkreises werde durch Gl. (14) auf die untere Halbebene » abgebildet«.

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den imaginären Bestandteil wi, wenn w den in der Abbildung 5 angedeuteten Winkel zwinken AZ und BZ bedeutet. Setzt man daher den Ausdruck (16) gleich P+Qi, wo P und 2 reell sind, so ist Q y, und der Ort der Punkte, für

die Q unveränderlich bleibt, ist ein Kreis durch A und B. (Ort der Scheitel aller Dreiecke mit der Grundlinie AB und dem gegenüberliegenden Winkel ). In den Grenzfällen Q = 0 und Q =л erhält man als gesuchten Ort die Gerade AB bezw. ihre Verlängerung beiderseits ins Unendliche, für dazwischenliegende Werte von Q einen der in Abb. 5 gezeichneten Kreise.

2) Ermittlung des Geschwindigkeitsplanes. Für die beiden äußersten, die Strömung begrenzenden Stromlinien BAE und BCDE, Abb. 1, kann man den Verlauf des Geschwindigkeitsvektors bis zu einem gewissen Grade sofort angeben. In dem unendlich fernen Punkt B herrscht übrigens für alle Stromlinien eine senkrecht abwärts gerichtete Geschwindigkeit von der Größe vo, gleich OB in Abb. 6. Zwischen B und A, Abb. 1, bleibt die Geschwindigkeit jedenfalls senkrecht abwärts gerichtet, so daß die entsprechenden Punkte im Geschwindigkeitsplan, Abb. 6, auf der Geraden OB bleiben. In A, Abb. 1, insbesondere muß v den Wert v1 angenommen haben, den es auf dem Strahlrande dauernd beibehält, weil (s. oben) hier der Ueber

druck bis null abgenommen hat. Demgemäß ist OA in Abb. 6 gleich v1 eingetragen. Von A nach E, Abb. 1, dreht sich der Geschwindigkeitsvektor, ohne seine Länge vi zu verändern; daher liegen die entsprechenden Punkte in Abb. 6 auf dem Kreisbogen AE, dessen Winkel gleich & ist. Der Linienzug BAE in Abb. 6 entspricht somit im Geschwindigkeitsplan der linken begrenzenden Stromlinie BAE von Abb. 1. Weisen wir der Stromlinie BAE den Wert Q 0 O zu, so muß die Stromlinie BCDE notwendig den Wert Q Qo erhalten, da wir mit Qo die ganze Ausflußmenge bezeichnet haben. Die Qo-Linie im Geschwindigkeitsplan muß nun den Verlauf BCDE, Abb. 6, nehmen, wobei der Winkel DCA gleich α. Denn längs BC, Abb. 1, ist die Geschwindigkeit

senkrecht nach unten gerichtet, längs CD unter dem Winkel a geneigt; dazwischen muß v null werden, da sonst unendlich große Beschleunigung auftreten würde. Für das Stück DE, das im Geschwindigkeitsplan wieder ein Kreisbogen vom Halbmesser v1 ist, gilt dasselbe wie für AE. Damit ist der Umriß des Geschwindigkeitsplanes gefunden. Der ausgezogene Teil BAE entspricht der Schaulinie Q = 0, der gestrichelte BCDE der Stromlinie Q Q2.

Im Vorangehenden ist festgestellt worden, daß die aus Stromfunktion und Potential gebildete Größe W = P+Qi, wenn darin die Geschwindigkeitsanteile v. und v, als unabhängig Veränderliche eingeführt werden, eine analytische Funktion der Größe W'vx-v1i sein muß. Stellt man W' in der oben dargelegten Weise durch Vektoren dar, so erhält man wegen des negativen Vorzeichens bei v gerade das Spiegelbild des Geschwindigkeitsplanes bezüglich der x-Achse. In Abb. 7 ist daher das Spiegelbild der Abbildung 6 gezeichnet. Unsere Aufgabe besteht jetzt darin, eine solche Funktion W von W' zu finden, daß ihr imaginärer Teil gleich null gesetzt den Linienzug BAE und gleich Qo gesetzt den Linienzug BCDE ergibt. Diese Aufgabe lösen wir, indem wir den gespiegelten Geschwindigkeitsplan durch die im vorigen Abschnitt angeführten »Abbildungen<< mehrmals vereinfachen.

ein.

Zunächst führen wir an Stelle von W' die Veränderliche

Multiplikation mit i bedeutet eine Drehung um 90o in negativem Sinn, Division durch vi verändert nur den Maßstab derart, daß der Halbmesser des Kreisbogens in Abb. 8 nicht mehr vi, sondern 1 ist. Die Länge der in Abb. 8 aufgetragenen komplexen Größe u ist gleich dem Verhältnis v: V1.

(19)

auf, so verwandelt sich der Kreisausschnitt, Abb. 8, in den Halbkreis, Abb. 9. Der Punkt E verschiebt sich derart, daß der Winkel EOA gleich x8 wird, während B auf der x-Achse im Abstand

zu liegen kommt. Nun ersetzen wir endlich die Größe u', das Bild Abb. 9 ergeben hat, noch durch die Veränderliche

Damit erhalten wir alle Punkte ABCDE auf der reellen Achse, Abb. 10, und zwar C ins Unendliche, A nach + 2, D nach 2; E hat die Abszisse

und B die Abszisse

(22)

Die Linie Q 0 in Abb. 10 ist die unmittelbare VerQo hat den Verlauf von B bindung BAE, die Linie Q nach rechts ins Unendliche und von da links zurück über D nach E. Alle andern Stromlinien müssen auf der unteren

deutscher Ingenieure.

log nat

und der gleichartigen Beziehung für u" der Ausdruck

Hierbei ist u' durch Gl. (19) und (17) mit W' verknüpft, u1' durch Gl. (20) unmittelbar gegeben, während

U2' εκδί (27) die den Punkt E in Abb. 9 bestimmende komplexe Zahl bezeichnet. (Fortsetzung folgt.)

B) Die Verbindungs- und die Triebstangen. Besonders wichtig ist der Angriff der Verbindungs- und der Triebstange im ersten Knoten des Obergurtes, von denen

1) Sonderabdrücke dieses Aufsatzes (Fachgebiet: Brücken- und Eisenbau) werden abgegeben. Der Preis wird mit der Veröffentlichung des Schlusses bekannt gemacht werden.

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tenpunkte zu verlegen, wodurch der Ausgleich der Kräfte während der Bewegung der Klappe störend beeinflußt wurde.

Außerdem entstand eine Schwierigkeit für die Unterbringung der Triebstange innerhalb der Wippe. Man mußte die hoch belasteten Verbindungsstangen jedenfalls in den Ebenen der Hauptträger lassen; wegen günstigen Anschlusses an die Wippe wurde es dann aber nötig, auch die Hauptträger der Wippe in diese Ebenen zu legen, was in der Tat durchgeführt ist. Legte man nun auch die Triebstangen in dieselben Ebenen, wenn auch mit außermittigem Anschlusse bezüglich der Knoten der Klappe, so gerieten die Triebstangen bei der Bewegung in die Queraussteifungen der doppelten Gurte und in die Wandglieder der hinteren Enden der Hauptträger der Wippe, wie man aus der gestrichelten Eintragung in Abb. 3

entnehmen kann, und wurden so zu fast unübersteiglichen Hindernissen entweder für die Ausbildung oder für die Bewegung dieser Träger.

Daraus entstand die ausgeführte Lösung nach Abb. 3 bis 6, 34 bis 37 und Taf. 1, bei der beide Stangen mittig im ersten Knoten des Obergurtes der Klappe angreifen, die Triebstange aber um 750 mm außen neben den Hauptträger gelegt ist. Hier ist eine dritte Gurtwand angeordnet, die in weiter Bohrung mit der Achse genau im Knoten die Lagerschale für den Anschlußbolzen der Triebstange aufnimmt und bis zu der Stelle schräg an den Obergurt von außen herangezogen wird, in der nach Abb. 15 und 16 der erste Querpfosten des oberen Windverbandes angreift; dieser gleicht also die beiden aus der Schrägziehung der dritten Gurtwände entstehenden wagerechten Querkräfte aus. Für die Gegenkräfte dieser ist eine zweite Quersteife genau in der Achse der Bolzen zwischen die Knoten gesetzt, der Grundriß in Abb. 36 zeigt, wie diese beiden Quersteifen zu einer sehr starken Entwicklung des Abschlusses des oberen Windverbandes benutzt sind, der wegen der Freihaltung der Umrißlinie für den Verkehr nicht nach den Kipplagern hinuntergeführt werden konnte.

Die beiden regelmäßigen Gurtwände nehmen in kräftigen Verstärkungen die Löcher für den Anschlußbolzen und zwischen sich auf diesem Bolzen den Lagerkörper für die Ver

Abb. 39 und 40.

Maßstab 1:50.

Abb. 38. Befestigung der Verbindungsstange an Wippe und Klappe.

bindungsstange auf. Die Lage der Teile zueinander ist aus Abb. 3 bis 6, 38 und Taf. 1 zu entnehmen, Abb. 39 und 40 zeigen die Einzelheiten der Lagerung. Die mit einfachem Steg ausgebildete Stange, Abb. 41, ist gegen die andre durch ein Feld eines Kreuzverbandes gegen Seitenkräfte und Schwankungen ausgesteift, Abb. 66. Die Enden der Mittelwand sind durch Blechbeilagen verstärkt und enthalten die 590 mm weite Bohrung für innen kugelförmige, geteilte Schalenkörper c und d, Abb. 39 und 40, die, an den beiden Enden der Stange entsprechend den verschiedenen Verhältnissen des Anschlusses verschieden ausgebildet, auf den Kugelwulst der den Bolzen umfassenden Hülse a, b mit Bronzefutter g und f greifen; die beiden Teile der Kugelschale sind gegen die Wand der Stange und gegen die Hülse ab gesperrt, so daß die Drehung zwischen Hülse und Bolzen stattfinden muß. Für diese Laufflächen sind Schmierpressen vorgesehen, die in Schmiernuten münden. Diese zwar sorgfältige, aber verwickelte und teure Ausbildung des Angriffes ist gewählt, um alle kleinen Bewegungen aus Durchbiegungen unter seitlichen Kräften, Ungenauigkeiten der Ausführung und ungleichmäßiger Erwärmung so frei machen, daß aus ihnen keine Zwängungen ent

Maßstab 1:20.

Abb. 40.

zu

stehen können. Auf den

Stegen der beiden Hälften jedes Obergurtes der Hauptträger der Klappe sind vor den Enden der Bolzen sperrende Deckel e und h, Abb. 39 und 40, angebracht, so daß sich die Bolzen nicht etwa mit

Maßstab 1:30.

den Hülsen in den Löchern der Stege der Gurte drehen können; dies Drehen erfolgt nur zwischen der Hülse ab und

dem Bolzen.

Die Triebstange ist nach Ausbildung und Anbringung in Abb. 3, 4, 34 bis 37, 42 bis 45 und Taf. 1 dargestellt.

deutscher Ingenieure.

1

in.

Der Querschnitt ist doppelt ]-förmig mit nach außen gerichteten Flanschen. Der lichte Abstand der beiden kräftigen Stege entspricht mit 300 mm der Länge der Abb. 34 bis 37 dargestellten Hülse auf dem Bolzen in dem dritten Stege des Hauptträgers der Klappe am ersten Knoten des Obergurtes, um den die Triebstange also schwingen kann. Die nicht große Fläche der Leibung genügt für die größte Kraft der Triebstange von 28,6 t. 116 mm über der Unterkante der beiden 660 mm hohen Stege, Abb. 42 bis 45, ist zwischen diese ein Eisen Nr. 30 mit der glatten Seite nach unten gesetzt, das die angebolzten Stücke der Zahnstange aufnimmt, Taf. 1. Die Zähne des Ritzels der Triebmaschine im Bocke der Wippe greifen noch etwas zwischen die Hälften der Stange hinein. Der Anschluß an den ersten Knoten des Obergurtes bietet weiter keine Besonderheiten. Im Bock der Wippe konnte die schwere Zahnstange nicht einfach auf das Ritzel gelegt werden, weil sie dieses stark belastet hätte und der Gefahr unbeabsichtigten Abhebens ausgesetzt gewesen wäre. Deshalb ist eine aus zwei dreieckigen Blechen gebildete Schwinge, Abb. 42 bis 45 und 64, auf die Welle

Abb. 46. Seitenansicht. Maßstab 1:60.

Maßstab 1:200.