130

140

150

nach

der mechanischen nach Gl. (24) Wärmetheorie

14,552

7,543

3,171

1,6504

0,8598

0,5874

0,4484

0,3636

0,3064

0,2652

0,2339

0,2095

0,1897

0,1735

0,1599

0,1483

0,1383

14,677

7,583

3,181

1,6506

0,8583

0,5861

0,4474

0,3630

0,3060

0,2650

0,2339

0,2096

0,1900

0,1739

0,1604

0,1489

0,1383

Werthe von

VD

=

21,429

25,483

32,043

38,106

45,316

50,151

53,891

56,982

59,640

61,983

64,087

66,002

67,764

69,398

70,924

72,357

73,711

nische Wärmetheorie führt, nicht ganz sicher sind. Durch die geringste Aenderung in den eingeführten Constanten hätte übrigens für solche Dämpfe eine bessere Uebereinstimmung hervorgebracht werden können; man brauchte nur in ähnlicher Weise, wie es Regnault mit seinen Formeln gethan hat, welche die Beziehung zwischen Druck und Temperatur darstellen, Dampf von mehr als einer Atmosphäre von dem zu unterscheiden, deffen Druck geringer als eine Atmosphäre ist. Für unsere weiteren Zwecke genügen jedoch die oben gewählten Constanten vollständig; da ich vor Allem die Bedürfnisse der Technik im Auge habe, und bei Dampfmaschinen jederzeit höherer Dampfdruck in Anwendung kommt, so sollen an den angenommenen Constanten keine Aenderungen vorgenommen werden.

Nach Gl. (24) oder (26) läßt sich nun leicht das Volumen des überhißten Dampfes für beliebigen Druck und jede Temperatur berechnen; sezt man T-273+t und t=100, 110, 120 u. f. w., sowie p=1 in Gl. (26), so folgen beispielsweise für überhißten Wasserdampf von einer Atmosphäre Druck für die angenommenen Temperaturen die im Folgenden angegebenen Werthe des specifischen Volumens:

t=100o v = 1,6506 Cbkmtr. t=160° v = 1,9468 Cbkmtr. 110

1,6999

170

1,9956

120

1,7492

180

2,0449

1,7984

190

2,0942

1,8477

200

2,1435

1,8970

210

2,1927

Hirn hat für einige verschiedene Werthe des Druckes und der Temperatur das specifische Volumen beobachtet. Die folgende kleine Uebersicht zeigt, wie vortrefflich seine Versuchsresultate mit den Ergebnissen unserer Formel übereinstimmen.

Berechnet man für gleichen Druck und gleiche Temperatur das specifische Volumen v' von atmosphärischer Luft, so giebt das Verhältniß v': v das specifische Gewicht des Dampfes in Hinsicht der Luft; so erhält man z. B. für die Temperaturen 100°, 150o, 200° bei einer Atmosphäre Druck beziehungsweise 0,6401, 0,6316 und 0,6250, also mit stärker werdender Ueberhizung abnehmend. *)

Zu näherer Prüfung der Zuverlässigkeit unserer Zustandsgleichung für Dämpfe mag nun auch der Ausdehnungscoefficient für überhißten Dampf bestimmt werden.

=

Ist a der Ausdehnungscoefficient, so schreibt sich für Gase das Gesez von Mariotte und Gay-Lussac in folgender bekannten Form:

α=

und für Druckänderung:

Findet die Ausdehnung bei constantem Drucke Statt, so ist pp, und man erhält aus vorstehender Formel:

α=

1+at 1+at1

Findet dagegen die Erwärmung bei constantem Volumen Statt, so ist v1 = v und dieselbe Gleichung giebt dann:

Die erstere Formel giebt, wie man sich ausdrückt, den Ausdehnungscofficienten für Volumenänderung, die zweite den für Druckänderung. Geht man zum Differential über, so findet sich aus den gegebenen Formeln für Bolumenänderung:

1 dt

dv

t

(27)

1

dt p dp

Für ein vollkommenes Gas geben beide Formeln den gleichen Werth a=0,003665; nicht so bekanntlich bei einem wirklichen Gase oder bei Dämpfen.

Erseßen wir in Gl. (24) T durch a+t, wobei a=273

*) Gr. d. m. W. S. 442.

(28).

p=0,1

0,5

1

5

10

dt

C x +

Diese Werthe in Gl. (27) und (28) substituirt und pv durch Gl. (24) erseßt, giebt dann für überhigte Dämpfe den Ausdehnungscoefficienten « für Volumenänderung:

1

dp

pv

B

pv B

B x

с

Bx

x

1

1

p

1

(29),

Beide Werthe find also verschieden, und zwar ist der legtere Werth, weil ×>1 ist, immer etwas kleiner als der erstere, was mit Regnault's Beobachtungen an Gasen übereinstimmt; dann ist auch a stets größer als 1: a=0,003665, was in gleicher Art die Beobachtung bestätigt. Ferner erscheint ɑ um so größer, je größer der Druck p ist; auch dieses Resultat wird durch das Experiment bestätigt. Hat doch Regnault selbst beim Wasserstoffgas, welches in seinem Verhalten einem permanenten Gase am nächsten steht, bei verschie denem Drucke etwas von einander abweichende Werthe für den Ausdehnungscoefficienten gefunden.

(30).

Nach Gl. (29) und (30) sind die folgenden Werthe für einige Werthe des Druckes p für überhißte Wasserdämpfe berechnet; da p in Atmosphären gilt, so wurde von den bei Gl. (26) angegebenen Constanten Gebrauch gemacht, überdies wie bisher *—1—1 geseßt.

Ausdehnungscoefficient

bei Volumenänderung: bei Druckänderung: a=0,003975 α = 0,003892 0,004150 0,004017 0,004257 0,004090

0,004629

0,004343

0,004872

0,004501.

Die vorstehenden Formeln bestätigen alle Säße, auf welche bis jezt die Versuche, betreffend den Ausdehnungscoefficienten von Gasen und Dämpfen, geführt haben; ich darf daher das Gegebene als einen weiteren Beweis der Zuverlässigkeit der neuen Zustandsgleichung ansehen. Ein neues Resultat geht aber noch aus den Gleichungen (29) und (30) hervor, daß nämlich der Ausdehnungscoefficient a nur vom Drucke p, nicht aber vom Volumen und dem Grade der Uebers higung abhängt. Es existirt feine Beobachtung, welche diesen Saz widerlegt; will man ihn nicht in voller Allgemeinheit annehmen, so muß man nach den obigen Entwickelungen wenigstens zugeben, daß er für überhißte Wafferdämpfe in der Nähe des Condensationspunktes als genau genug angesehen werden darf.

Es mag nun endlich die specifische Wärme des überhigten Wasserdampfes bei constantem Volumen (c,) näher bestimmt werden. Bei einem vollkommenen Gase ist der oben

Mit Hülfe dieser Formel findet sich nun für jeden gegebenen Zustand des überhigten Dampfes das Verhältniß c, c, und hieraus, weil c, bekannt ist, der Werth c.. Schon aus der Formel ist zu entnehmen, daß mit zunehmender Ueberhigung der Werth c, c, sich dem Werthe x nähert; bei kleinem Drucke und sehr großer Ueberhizung würde daher bei Wasserdampf c,: c, =} und hiernach c, = 0,8604 sein, und den lezteren Werth betrachte ich als die specifische Wärme des Wafferdampfes bei constantem Volumen, wenn der Dampf durch starke Ueberhigung bei geringem Drucke ganz in den Zustand eines permanenten Gases übergegangen ist. Die Gleichung lehrt ferner, daß das Verhältniß c, c, zunimmt und c, abnimmt, je mehr sich der Dampf dem gesättigten Zustande nähert. So ergiebt z. B. Gl. (31) für gesättigten Wasserdampf von 0,1, 0,5, 1 und 5 Atmosphären Druck folgende Resultate:

0,5 1 5 1,3664 1,3713 1,3849

C1 = 0,3538 0,3516 0,3504 0,3470.

C P px B T

Auffallend könnte es scheinen, daß der Werth der specifischen Wärme c, bei constantem Volumen wächst, je weiter man, vom gesättigten Zustande des Dampfes ausgehend, mit der Ueberhitung fortschreitet. Nach der Vorstellung, die man sich von Gasen und Dämpfen macht, erwartet man eher das Umgekehrte. Die weiteren Untersuchungen werden aber unser Resultat bestätigen und erklären.

ist, während er bei Gasen constant ist und zwar sich durch Cp: × ermittelt.

C、

Ist die Zustandsänderung umkehrbar, d. h. ist während der Volumenänderungen der Dampfdruck p mit dem äußeren Drucke immer im Gleichgewichte, so ist die Arbeit, welche der Ausdehnung dv entspricht: pdv, und die entsprechende Wärmemenge Apdv; von der mitgetheilten Wärmemenge dQ wird die leztgenannte sonach zu äußerer Arbeit verbraucht, und der Nest wird zur Erhöhung der inneren Arbeit verwendet (zur Veränderung der Schwingungsgeschwindigkeiten und der Stellung der kleinsten Theile). Bezeichnen wir die Veränderung der inneren Arbeit mit dU, so folgt:

AdU=dQ — Apdv,

*) In meiner Besprechung des Hirn'schen Saßes (Gr. d. m. W., S. 435) habe ich auf Grund der Resultate numerischer Rechnungen den Sah nur als näherungsweise richtig hingestellt. Ich halte jedoch den Sat jetzt für streng richtig und suche die Abweichungen, auf welche die dort angestellten Rechnungen führten, in dem Umstande, daß ich mich in der Anwendung der Regnault'schen Formeln allzu stark den Versuchsgrenzen näherte, an welchen die empirischen Formeln von Regnault unsicher werden. Fernerhin nahm ich dort an, wie es bis jetzt allgemein geschehen ist, Wafferdampf von jedem Drucke nähere sich mit zunehmender Ueberhitung im Verhalten bald einem permanenten Gase, während ich mich jezt der Ansicht zuneige, daß der Wafferdampf nur bei sehr geringem Drucke und größer werdender Ueberhißung in den Zustand eines vollkommenen Gases übergeht.

woraus folgt, daß bei der Erwärmung der Gase die Vermehrung der inneren Arbeit der Temperaturerhöhung einfach proportional ist; ein Sag, von welchem Clausius in seiner Theorie der Gase ausgegangen ist.

Es soll nun schließlich auch noch für überhißte Wasserdämpfe der Werth bestimmt werden, den man bei gesättigten Dämpfen die Gesammtwärme nennt, und für welche Regnault die empirische Formel:

λ=606,5 +0,305 t hingestellt hat. Es ist das diejenige Wärmemenge, welche erforderlich ist, um die Gewichtseinheit Waffer bei constantem, der Dampftemperatur t entsprechendem Drucke vollständig in gesättigten Dampf zu verwandeln.

Gehen wir weiter, indem wir uns überhigten Dampf vom Volumen v unter den gleichen Verhältnissen erzeugt denken, so ist bei der Bildung die Arbeit p (vo) verrichtet worden und die Wärmemenge A p (v—o) verschwunden, wenn wir mit o das Volumen der Gewichtseinheit Wasser bezeichnen. Man kann aber ohne Bedenken o gegen v vernachlässigen und erhält daher für die Gesammtwärme 2:

λ=J+Apv oder unter Benuzung von Gl. (34):

Ακ

2

λ = Jo + ~ ~ ¡ P

x 1

G

(38)

und unter Benugung von Gl. (24) und (25):

C

(T— P

·J2+ c2T p р

0

2

wobei wie oben J。=476,11 zu seßen ist.

Da diese Gleichung auch für gesättigte Dämpfe gültig ist, so würde, im Falle solche sich wie permanente Gase verhielten, C=0 sein, und dann wäre:

und der Vergleich mit der Regnault'schen Formel ergäbe dann für die specifische Wärme des Wasserdampfes bei constantem Drucke c, 0,805, ein Resultat, auf welches ich unter denselben Voraussetzungen auch früher*) gekommen bin, das aber vorher schon von Rankine auf anderem Wege erhalten wurde. Gl. (39) erklärt jezt deutlich den Grund der Abweichung von dem richtigen Werthe c, = 0,4805.

s

Die nach Gl. (39) berechneten Werthe von 2 für gesättigten Dampf stimmen ganz befriedigend mit denen der Regnault'schen Formel überein. Man erhält z. B. für: 0,5 1 5 Atmosphären, 631,15 637,02 653,05

nach Gl. (39)
Regnault 2= 631,42 637,00 652,98.

Unsere Gl. (39) hat aber den Vorzug, daß sie allgemein auch für überhigte Wasserdämpfe gilt.

(39),

Anwendungen.

Betrachtet man die von mir aufgestellte Zustandsgleichung der überhigten Dämpfe, zunächst der Wasserdämpfe, als richtig. (und ich glaube, daß durch das oben Gegebene die hohe Wahrscheinlichkeit ihrer Richtigkeit wenigstens für die gewöhnlich vorkommenden Dampfpreffungen nachgewiesen ist), so ist nun das Mittel gegeben, eine ganze Reihe von Fragen zu lösen, deren Beantwortung bis jezt unmöglich war. Bor Allem find es diejenigen Probleme, die zugleich von technischer Bedeutung sind, welche mit Leichtigkeit gelöst werden können, und eine Theorie der Dampfmaschinen mit überhigtem Dampfe unterliegt nun feiner Schwierigkeit mehr. Es sollen hier nur einige der wichtigsten Fälle untersucht werden, von denen mehrere, weil entsprechende Versuche vorliegen, als weitere Bestätigung des oben Gegebenen dienen sollen.

(:)

Adiabatische Curve. Ist die Gewichtseinheit übers higter Dampf von Druck p2 und Volumen v2 gegeben, und dehnt sich derselbe arbeitsverrichtend ohne Mittheilung und Entziehung von Wärme aus, so giebt die adia batische Curve das Gesez der Aenderung des Druckes p mit dem Volumen v an; diese Curve giebt auch das Gesez an, nach welchem bei Dampfmaschinen mit überhißtem Dampfe die Expansionscurve im Indicatordiagramm verläuft. Ist der Anfangszustand durch die Werthe P2, V2, T2 und der Endzustand durch P1, V1, Ti gegeben (Fig. 4), so läßt sich nach den Gleichungen (32) leicht die Beziehung zwischen den einzelnen Größen finden; sezt man dort in den 3 Gleichungen dQ=0, so folgt durch Integration:

1