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dQ=c. (p) dp+c,(:) ) dv
dQ=c, dt + AT () dv

(III).
dQ = c, dt - AT (*) dp
Dividire ich die regte Gleichung durch T, jo folgt:

dQ

46,- A (ar) dp. Wie aus der in Gl. (5) und (8) angeführten Bezeichmung hervorgeht, ist aber dQ : T mit do identisch, und für den legteren Werth fand sich nach Gl. (14)

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von x bei überbigten Wasserdämpfen in die Form Cyp

dg

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р

übergeht.

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A v

Cy

dp

-1

Prüfung der neuen Zustandsgleichung. Soll die angegebene Gleichung für überbißte Wasserdämpfe richtig sein, so muß ste auch für den Grenzzustand, nämlich für den Fall gelten, daß der Dampf in den gesättigten Zustand übergeht; die Gleichung muß also, wenn man die einem gewissen Drucke p entsprechende Temperatur t substituirt, das specifische Volumen des gesättigten Dampfes geben. Diese Vorausseßung führt zunächst auf den Werth der Constanten C.

Die mechanische Wärmetheorie giebt z. B. für gesättigten Wasserdampf von einer Atmosphäre Druď (p=10334) und t=100°, T= 373o das Volumen v von einem Kilogramm Dampf v= 1,6506 Cubikmeter. Benuße ich diese Werthe in GI. (24), fo findet fidy:

C192,50. Ist nun die Gleichung richtig, so muß fie auch für jeden anderen Drud das specifisde Volumen des gesättigten Dampfes ergeben; wie weit sich das bestätigt, zeigt die folgende Tabelle 2 auf Seite 51.

Die 2. Columne giebt das specifische Volumen des gesättigten Dampfes für verschiedene Pressungen, berechnet nadı den Grundformeln der mechanischen Wärmetheorie; die 3. Columne ist nach Gl. (24) berechnet, wobei nur zu bemerken ist, daß die oben gegebenen Werthe von B und für den Fall gelten, daß der Druď p in Kilogrammen pro Quadratmeter substituirt wird. Seßen wir bei numerischen Rechnungen p in Atmosphären, so haben wir in der Formel:

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T

Cy

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(19), wobei ich freilich die Annahme madhe, daß die Integrations constante, die im Allgemeinen eine Function von p sein könnte, Null sei. Diese Annahme wird aber durch die Uebereinstimmung der folgenden Rechnungsresultate mit der Beobach) tung vollständig bestätigt.

Benußt man nun Gl. (18) und (19) in GI. (II), To ergiebt fich ferner nach einigen leichten Umformungen:

(x-1)

(20).

Apv Bestimmen wir aus dieser Formel c, und benußen wir den Werth in Gl. (19), so folgt:

1 T +

(21), dp

Cp (x - 1) während Gl. (18) ergiebt:

A xp (at)

(22). Cp (x - 1) Die Substitution dieser beiden Differentialquotienten in GI. (17) giebt alsdann : (vdp + xp dv) +*71. I di

dp (23), Cp (x - 1) und das ist das Differential der Zustandsgleidung der über bißten Wasserdämpfe.

Die Integration dieser Gleichung unterliegt keiner Schwierigkeit. Man erhält:

AV

x

() =

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0,4484 0,3636 0,3064 0,2652

6

0,3060

59,640

7

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Berechnet man für gleichen Druck und gleiche Temperatur das specifisde Volumen v' von atmosphärischer Luft, so giebt das Verhältniß V':v das specifische Gewicht des Dampfes in Sinfidit der Luft; so erhält man z. B. für die Temperaturen 100", 150°, 200° bei einer Atmosphäre Drud beziehungsweise 0,6401, 0,6316 und 0,6250, also mit stärker werdender Ueberhißung abnehmend. *)

Zu näherer Prüfung der Zuverlässigkeit unserer Zustandsgleichung für Dämpfe mag nun auch der Ausdehnungscoefficient für überhißten Dampf bestimmt werden.

Ist a der Ausdehnungscoefficient, fo fahreibt sich für Gase das Geseß von Mariotte und Gay-Lussac in folgender bekannten Form:

13

0,1489

14

0,1383

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nijde Wärmetheorie führt, nicht ganz sicher sind. Durch die geringste Aenderung in den eingeführten Constanten hätte übrigens für solche Dämpfe eine bessere Uebereinstimmung hervorgebracht werden können; man brauchte nur in ähnlicher Weise, wie es Regnault mit seinen Formeln gethan hat, welche die Beziehung zwischen Druck und Temperatur darstellen, Dainpf von mehr als einer Atmosphäre von dem zu unterscheiden, dessen Druck geringer als eine Atmosphäre ist. Für unsere weiteren Zwecke genügen jedoch die oben gewählten Constanten vollständig; da ich vor Allem die Bedürfniffe der Technik im Auge babe, und bei Dampfmaschinen jederzeit höherer Dampfdruck in Anwendung kommt, so sollen an den angenommenen Constanten keine Aenderungen vorgenommen werden.

Nad Gl. (24) oder (26) läßt sich nun leicht das Vos lumen des überhigten Dampfes für beliebigen Druck und jede Temperatur berechnen; feßt man T=273 + t und t= 100,

, 110, 120 11. s. w., sowie p=1 in Gl. (26), so folgen beis spielsweise für überhißten Wasserdampf von einer Atmos Druck für die angenommenen Temperaturen die im Folgenden angegebenen Werthe des specifisden Volumens: t=100° v= 1,6506 Cbkmtr. t = 160° v= 1,9463 Cbfmtr. 110 1,6999

170

1,9956 120 1,7492

180

2,0449 130 1,7984

190

2,0942
140
1,8477

200
150
1,8970

210

2,1927 pirn hat für einige verschiedene Werthe des Druces und der Temperatur das specifische Volumen beobachtet. Die folgende fleine Itebersicht zeigt, wie vortrefflich eine Versuchsresultate mit den Ergebnissen unserer Formel übereinstimmen.

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2,1435

Für ein vollfommenes Gas geben beide Formen den gleichen Werty a = 0,003665; nicht so bekanntlich bei einem wirklichen Gase oder bei Dämpfen.

Erseßen wir in GI. (24) T durdy a +t, wobei a= 273

*) Ør. 6. m. W. S. 442.

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cx 1
р
dp

р

B. Diese Werthe in 81. (27) und (28) substituirt und pv ditrch GI. (24) erseßt, giebt dann für überhifte Dämpfe den Ausdehnungscoefficienten « für Volumenänderung:

1

(29),

су

X - 1

X

1

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ср

B T Mit Sulfe dieser Forinel findet sich nun für jeden gegebenen Zustand des überhigten Dampfes das Verhältniß Ce:c, und hieraus, weil c, befannt ist, der Werth C. Schon aus der Formel ist zu entnehmen, daß mit zunehmender Ueberbißung der Wertly Cp : Co sich dem Werthe x nähert; bei kleinem Drude und sehr großer Ueberhißung würde daber bei Wasserdampf cpic, =s und hierna C, = 0,8604 sein, und den lekteren Werth betrachte ich als die specifische Wärme des Wasserdampfes bei constantem Volumen, wenn der Dampf durdy starfe lleberligung bei geringem Drucke ganz in den Zustand eines permanenten Gases übergegangen ist. Die Gleichung lehrt ferner, daß das Verhältniß Cp : C, zuinimmt und C, abnimmt, je mehr sich der Dampf dem gesättigten Zuftande nähert. So ergiebt z. B. GI. (31) für gesättigten Wasserdampf von 0,1, 0,5, 1 und 5 Atmosphären Druck folgende Resultate:

0,5 1 5 = 1,3581 1,3664 1,3713 1,3849 C =

0,3538 0,8516 0,3504 0,3470. Auffallend fönnte es scheinen, daß der Werth der specifischen Wärme c, bei conftantem Volumen wächst, je weiter man, vom gesättigten Zustande des Dampfes ausgehend, mit der Ueberhikung fortschreitet. Nach der Vorstellung, die man sich von Gasen und Dämpfen macht, erwartet man eher das Umgekehrte. Die weiteren Untersuchungen werden aber unser Resultat bestätigen und erklären.

0,1

Ср

Cv

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1

Beide Werthe sind also verschieden, und zwar ist der legtere Werth, weil > > 1 ist, immer etwas fleiner als der erstere, was mit Regnault's Beobachtungen an Gasen übers einstimmt; dann ist auch a stets größer als 1:a = 0,003665, was in gleicher Art die Beobachtung bestätigt. Ferner ers rubeint á um so größer, je größer der Druc p ist; auch die128 Resultat wird durch das Experiment bestätigt. Hat dody Regnault selbst beim Wasserstoffgas, welches in seinem Verhalten einem permanenten Gase am nächsten steht, bei verschies Tenent Druce etwas von einander abweichende Werthe für den Ausdehnungscoefficienten gefunden.

Nach Gl. (29) und (30) sind die folgenden Werthe für einige Werthe des Drudes p für überhißte Wasserdämpfe berechnet; da p in Atmosphären gilt, so wurde von den bei GI. (26) angegebenen Constanten Gebrauch gemacht, überdies wie bisher

= gelegt. .

Ausbehnungscoefficient
bei Volumenänderung: bei Drucänderung:
p=0,1

a=0,003975 Q = 0,003892
0,5
0,004150

0,004017
1
0,004257

0,004090
5
0,004629

0,004343
10
0,004872

0,004501. Die vorstehenden Formeln bestätigen alle Säße, auf welche bis iegt die Versuche, betreffend den Ausdehnungscoefficienten von Gasen und Dämpfen, geführt haben; ich darf Daher das Gegebene gls einen weiteren Beweis der Zuverlässigkeit der neuen Zustandsgleichung ansehen. Ein neues Resultat geht aber noch aus den Gleichungen (29) und (30) hervor, daß nämlich der Ausdehnungscoefficient a nur vom Drucke p, nicht aber vom Volumen und dem Grade der Uebers bißung abhängt. Es existirt feine Beobachtung, welche diesen Saß widerlegt; will man ihn nicht in voller Augemeinheit annehmen, so muß man nach den obigen Entwidelungen wenigstens zugeben, daß er für überhißte Wasserdämpfe in der Nähe des Condensationspunktes als genau genug angesehen werden darf.

Es mag nun endlich die specifiche Wärme des überbißten Wasserdampfes bei conftantem Volumen (c) näher be: stimmt werden. Bei einem vollfommenen Base ist der oben

Die Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie,

angewendet auf überhikte Dämpfe. Ist die Gewichtseinheit von überhiztein Dampfe gegeben durch Drud, Volumen und Temperatur, so werden mit der Mittheilung der Wärinemenge d Q Aenderungen dieser Größen verbunden sein. Die oben aufgeführten Gleichungen (III) geben allgemein die Beziehungen, welde hierbei unter diesen Größen stattfinden. Für überhigte Dämpfe ergiebt sich, wenn man die Gleichungen (18) bis (23) entsprechend in den Gleichungen (III) benußt:

dQ=A, (vdp + xp dv)
dQ = c, (dt

(32),

1 T

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Edp)

P

dQ=C

1) und diese Gleichungen unterscheiden sid) von denen der permanenten Gase nicht in der Form, sondern nur dadurch, daß der Werth c, der fpecifischen Wärme bei constantem Volumen hier veränderlich erscheint und nach Gl. (20) zu beurtheilen

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ist, während er bei Gasen constant ist und zwar fich durch c,= C :

Cp : x ermittelt.

Ist die Zustandsänderung umkehrbar, d. h. ist während der Volumenänderungen der Dampfdrud p mit dem äußeren Druce immer im Gleichgewichte, so ist die Arbeit, welche der Ausdehnung d v entspricht: pdv, und die entsprechende Wärmemenge Apdv; von der mitgetheilten Wärmemenge d Q wird die leßtgenannte sonad zu äußerer Arbeit verbraucht, und der Rest wird zur Erhöhung der inneren Arbeit verwendet (zur Veränderung der Schwingungsgeschwindigkeiten und der Stellung der kleinsten Theile). Bezeichnen wir die Veränderung der inneren Arbeit mit du, so folgt:

AdU=dQ – Apdv, und wenn man d Q durch die erste der Gleichungen (32) ers feßt, nady einfacher Umformung:

AdU=
d

(33).

Nun ist offenbar für gesättigten Dampf:
J=q+.

(35). So findet sich z. B. für gesättigten Wasserdampf von einer Atmosphäre Druck (p=10334), weil t= 100° ist, J= 596,80; segt inan diesen Werth in Gl. (34) und übers dies v= 1,6506 nach obiger Tabelle 2, so folgt umgekehrt für die Constante J. dieser Gleidung:

J. = 476,11. Unter Benupung der Werthe von v der Tabelle 2 find dann nach Gl. (34) die Werthe der legten Columne der folgenden Tabelle berechnet worden, während die der vorlegten der Formel + entsprechen.

Tabelle 3.

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А

id(pv)

Integrirt man diefe Gleichung, indem man von einem gewissen Anfangszustande ausgeht, so folgt:

A (U—U,)= A (pv – p, Vz). Die Differenz U-U, giebt den Mehrbetrag der inneren Arbeit, und da hier diese Differenz mit A multiplicirt er: (dheint, so ist diese Arbeit in Wärmeeinheiten gemessen. Nehne ich an, der Anfangszustand sei Wasser von 0° Temperatur, und bezeichne ich die linke Seite vorstehender Gleichung mit J, jo dyreibt fid, die Formel audy

596,80 601,62 604,68 606,97 608,81 610,38

604,47 606,81 608,73

4

5

6

610,39

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9

10

Jo bedeutet eine noch zu bestimmende Constante und J giebt nun an, wie viel Wärme im überhißten oder gesättigten Dampfe vom Drude p und Bolumen v mehr enthalten ist, als im Wafier von 0° Tempe ratur. Id nenne J kurz die Dampfwärme.

Die Formel muß für überhigte und gesättigte Dämpfe gleichzeitig gelten; für die lektere Art von Dämpfen kann man aber nach den Grundfäßen der mechanischen Wärmetheorie die Dampfwärme ermitteln, und daber bietet fich ein Mittel, nicht nur die Constante J. zu bestimmen, sondern auch zu er: proben, ob die GI. (34) zunächst für gesättigte Dämpfe von beliebigem Drucke gilt.

Denft man sich 1 Kilogrm. Wasser unter dem Drucke p von 0° auf to erwärmt, so erfordert das eine Wärmemenge:

614,38

614,05 615,49

615,05 Mart erfennt die befriedigende Uebereinstimmung der

Man Berthe beider Zahlenreihen und fann hierin einen neuen Beweis der Zuverlässigkeit der für das Verhalten überhifter Dämpfe hingestellten Säße finden.

Die GI. (34) spricht das „Hirn’sche Geseg" aus. Durcy Betrachtungen ganz anderer Art fam Airn zu denr Resultate, daß, wenn man von einem gewiffen Anfangszustande ausgeht, der Mehrbetrag derneren Arbeit oder, wie wir es nennen, die Dampfwärme, dem Producte pv proportional sei, und dieses Resultat legt şirn dann seinen Untersuchungen zil Grunde. *)

Zu sehr bemerkenswerthen Resultaten, die zu weiterer Bestätigung der Richtigkeit der von mir aufgestellten Zustandogleichung der überhigten Dämpfe führen, gelangt man, wenn man GI. (24) in Gl. (34) benußt. Es folgt dann:

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*) In meiner Besprechung des firn'schen Sages (Gr. b. in. W., S. 435) habe ich auf Grund der Resultate numerischer Rechnungen den Sat nur als näherungsweise richtig hingestellt. Ich halte jedoch den Saß jeßt für streng richtig und suche die Abweichungen, auf welche die dort angestellten Rechnungen führten, in dem Umftande, daß ich mich in der Anwendung der Regnault'iden Formeln auzu start den Bersuche, grenzen näherte, an welchen die empirischen Formeln von Regnault unsicher werden. Fernerhin nahm ich dort an, wie es bis iegt allgemein geschehen ist, Wafferdampf von jedem Drucke nähere fich mit zunehmender Ueberhißung im Verbalten bald einem permanenten Gase, während ich midy iegt der Ansicht zuneige, daß der Wafferdampf nur bei sehr geringem Druđe und größer werbender Ueberhigung in den Zustand eines vollfommenen Gases übergeht.

*) Sr. D. m. W. S. 282.

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oder den Werth B aus Gl. (25) benußt:

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wobei wie oben J,=476,11 zu seben ist.

Da diese Gleichung auch für gesättigte Dämpfe gültig ist, so würde, im Falle solche sich wie permanente Gase ver: hielten, C=0 sein, und dann wäre:

a=J. + CT, und der Vergleich mit der Regnault’schen Formel ergäbe dann für die specifische Wärme des Wasserdampfes bei cons stantem Drude c, = 0,805, ein Resultat, auf weldies ich unter denselben Vorausseßungen auch früher *) gekommen bin, das aber vorher schon von Ranfine auf anderem Wege erhalten wurde. Gl. (39) erklärt jegt deutlich den Grund der Abs weidung von dem richtigen Werthe cp = 0,4805.

Die nach Gl. (39) beredzneten Werthe von à für ges sättigten Dampf stimmen ganz befriedigend mit denen der Regnault'schen Formel überein. Man erhält z. B. für:

р 0,5 1 5 Atmosphären, nach G1. (39) a = 631,16 637,02 653,05 • Regnault i = 631,42 637,00 652,98.

Unsere 61. (39) hat aber den Vorzug, daß fie allgemein auch für überhißte Wasserdämpfe gilt.

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Bei sehr kleinem Drude p und sehr starker Ueberhikung, wobei der Dampf fast vollständig in den Zustand eines per manenten Gases übergegangen ist, läßt sich noch das zweite Glied in der Klammer vernachläffigen, und man hat dann:

J=J, +CT, und diese Gleichung ist es, die man auch wirklich für permaniente Gase hinstellt. Seßen wir, wie oben J=AU, wo U die inutere Arbeit darstellt, so ift:

AdU=CDT, woraus folgt, daß bei der Erwärmung der Gase die Vermelrung der inneren Arbeit der Temperaturerhöhung einfach proportional ist; ein Sap, von welchem claufius in seiner Theorie der Gase ausgegangen ist.

Es soll nun schließlich audy noch für überhigte Wasserdämpfe der Werth bestimmt werden, den man bei gesättigten Dämvfen die Gesammtwärme nennt, und für welche Regnault die empirische Formel:

À = 606,5 + 0,305 t hingestellt hat. Es ist das diejenige Wärmemenge, welche er: forderlich ist, um die Gewichtseinheit Waffer bei constantem, der Dampftemperatur t entsprechendein Druđe vollständig in gesättigten Dampf zu verwandeln.

Gehen wir weiter, indem wir uns überhigten Dampf vom Volumen v unter den gleichen Verhältnissen erzeugt denfen, so ist bei der Bildung die Arbeit p(v-o) verrichtet worden und die Wärmemenge Ap (v-o) verschwunden, wenn wir mit o das Volumen der Gewichtseinheit Wasser bezeichnen. Man fann aber ohne Bedenken o gegen v vernachlässigen und erhält daher für die Gesammtwärme 2:

1=J + Apy oder unter Benußung von Gl. (34):

Anwendungen. Betrachtet man die von mir aufgestellte Zustandsgleichung der überhißten Dämpfe, zunächst der Wasserdämpfe, als richtig (und id) glaube, daß durch das oben Gegebene die hohe Wahrscheinlichkeit ihrer Nichtigkeit wenigstens für die gewöhnlich vorkommenden Dampfpressungen nachgewiesen ist), so ist nun das Mittel gegeben, eine ganze Reihe von Fragen zu lösen, deren Beantwortung bis ießt unmöglich war. Bor Alem sind es diejenigen Probleme, die zugleich von technischer Bedeutung sind, welche mit Leichtigkeit gelöst werden können, und eine Theorie der Dampfmaschinen mit überhißtem Dampfe unterliegt nun feiner Schwierigkeit mehr. Es sollen hier nur einige der wichtigsten Fälle untersucht werden, von denen inebrere, weil entsprechende Versuche vorliegen, als weitere Bestätigung des oben Gegebenen dienen sollen.

Adiabatide Gurve. Ist die Gewichtseinheit übers higter Dampf von Druck P2 und Volumen vz gegeben, und dehnt sich derselbe arbeitsverrichtend ohne Mitteilung und Entziehung von Wärme aus, fo giebt die adiabatische Curve das Gesek der Aenderung des Druces p mit dem Volumen v an; diese Curve giebt auch das Gesek an, nach welchem bei Dampfmaschinen mit überhißtem Dampfe die Expansionscurve im Indicatordiagramm verläuft. Ist der Anfangszustand durch die Werthe P2, V2, T, und der Endzutstand durch P., V1, T, gegeben (Fig. 4), so läßt sich nach den Gleichungen (32) leicht die Beziehung zwischen den einzelnen Größen finden; sept man dort in den 3 Gleichungen dQ=0, so folgt durch Integration:

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*) Gr. 0. m. W. S. 434.

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