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Soll die angegebene Gleichung für überhitzte Wasserdämpfe richtig sein, so muß sie auch für den Grenzzustand, nämlich für den Fall gelten, daß der Dampf in den gesättigten Zustand übergeht; die Gleichung muß also, wenn man die einem gewissen Drucke p entsprechende Temperatur t substituirt, das specifische Volumen des gesättigten Dampfes geben. Diese Voraussetzung führt zunächst auf den Werth der Constanten C. »

Die mechanische Wärmetheorie giebt z. B. für gesättigten Wasserdampf von einer Atmosphäre Druck (p = 10334) und t = 100", T = 373° das Volumen v von einem Kilogramm Dampf v = 1,6506 Cubikmeter. Benutze ich diese Werthe in Gl. (24), so findet sich:

C = 192,50.

Ist nun die Gleichung richtig, so muß sie auch für jeden anderen Druck das specifische Volumen des gesättigten Dampfes ergeben; wie weit sich das bestätigt, zeigt die folgende Tabelle 2 auf Seite 51.

Die 2. Columne giebt das specifische Volumen des gesättigten Dampfes für verschiedene Pressungen, berechnet nach den Grundformeln der mechanischen Wärmetheorie; die 3. Columne ist nach Gl. (24) berechnet, wobei nur zu bemerken ist, daß die oben gegebenen Werthe von B und C für den Fall gelten, daß der Druck p in Kilogrammen pro Quadratmeter substituirt wird. Setzen wir bei numerischen Rechnungen p in Atmosphären, so haben wir in der Formel:

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Tabelle 2. Specifisches Volumen des gesättigten Druck Wasserdampfes Werthe von N Ä - C Atmosphären nach B Wp der mechanischen nach Gl. (24) Wärmetheorie 0,1 14,552 14,677 21,429 0,2 7,543 7,583 » 25,483 0,5 3,17 1 3,181 32,043 1 1,6504 1,6506 38, 106 2 0,8598 0,8583 45,31 6 Z 0,5874 0,5861 50, 15 4 0,4484 0,4 474 53,89 1 5 0,3636 0,3630 56,982 6 0,3064 0,3060 59,64 0 7 0,26 52 0,2650 61,983 8 0,2339 0,2339 64,087 9 0,2095 0,2096 66,002 10 0, 1897 0, 1900 67,764 11 0, 1735 0, 1739 69,398 12 0, 1 599 0,1 604 70,924 13 0,1 483 0,1489 72,357 14 0,1383 0,1383 73,71 1

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nische Wärmetheorie führt, nicht ganz sicher sind. Durch die geringste Aenderung in den eingeführten Constanten hätte übrigens für solche Dämpfe eine bessere Uebereinstimmung hervorgebracht werden können; man brauchte nur in ähnlicher Weise, wie es Regnault mit seinen Formeln gethan hat, welche die Beziehung zwischen Druck und Temperatur darstellen, Dampf von mehr als einer Atmosphäre von dem zu unterscheiden, dessen Druck geringer als eine Atmosphäre ist. Für unsere weiteren Zwecke genügen jedoch die oben gewählten Constanten vollständig; da ich vor Allem die Bedürfnisse der Technik im Auge habe, und bei Dampfmaschinen jederzeit höherer Dampfdruck in Anwendung kommt, so sollen an den angenommenen Constanten keine Aenderungen vorgenommen werden.

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Berechnet man für gleichen Druck und gleiche Temperatur das specifische Volumen v' von atmosphärischer Luft, so giebt das Verhältniß v': v das specifische Gewicht des Dampfes in Hinsicht der Luft; so erhält man z. B. für die Temperaturen 100", 150°, 2009 bei einer Atmosphäre Druck beziehungsweise 0,6401, 0,6316 und 0,6250, also mit stärker werdender Ueberhitzung abnehmend. *) Zu näherer Prüfung der Zuverlässigkeit unserer Zustandsgleichung für Dämpfe mag nun auch der Ausdehnungscoefficient für überhitzten Dampf bestimmt werden. Ist a der Ausdehnungscoefficient, so schreibt sich für Gase das Gesetz von Mariotte und Gay-Lussac in folgender bekannten Form: PY = 1 + * * P 1 V1 1 + at1 Findet die Ausdehnung bei constantem Drucke Statt, so ist p = p, und man erhält aus vorstehender Formel:

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*) Gr. d. m. W. S. 442.

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Beide Werthe sind also verschieden, und zwar ist der letztere Werth, weil x > 1 ist, immer etwas kleiner als der erstere, was mit Regnault's Beobachtungen an Gasen übereinstimmt; dann ist auch a stets größer als 1 : a = 0,003665, was in gleicher Art die Beobachtung bestätigt. Ferner erscheint a um so größer, je größer der Druck p ist; auch dieses Resultat wird durch das Experiment bestätigt. Hat doch Regnault selbst beim Wasserstoffgas, welches in seinem Verhalten einem permanenten Gase am nächsten steht, bei verschiedenem Drucke etwas von einander abweichende Werthe für den Ausdehnungscoefficienten gefunden.

Nach Gl. (29) und (30) sind die folgenden Werthe für einige Werthe des Druckes p für überhitzte Wasserdämpfe berechnet; da p in Atmosphären gilt, so wurde von den bei Gl. (26) angegebenen Constanten Gebrauch gemacht, überdies

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Die vorstehenden Formeln bestätigen alle Sätze, auf welche bis jetzt die Versuche, betreffend den Ausdehnungscoefficienten von Gasen und Dämpfen, geführt haben; ich darf daher das Gegebene gls einen weiteren Beweis der Zuverlässigkeit der neuen Zustandsgleichung ansehen. Ein neues Resultat geht aber noch aus den Gleichungen (29) und (30) hervor, daß nämlich der Ausdehnungscoefficient a nur vom Drucke p, nicht aber vom Volumen und dem Grade der Ueberhitzung abhängt. Es existirt keine Beobachtung, welche diesen Satz widerlegt; will man ihn nicht in voller Allgemeinheit annehmen, so muß man nach den obigen Entwickelungen wenigstens zugeben, daß er für überhitzte Wasserdämpfe in der Nähe des Condensationspunktes als genau genug angesehen werden darf.

Es mag nun endlich die specifische Wärme des überhitzten Wasserdampfes bei constantem Volumen (c.) näher bestimmt werden. Bei einem vollkommenen Gase ist der oben

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Cv % - 1
C P
- E P T

Mit Hülfe dieser Formel findet sich nun für jeden gegebenen Zustand des überhitzten Dampfes das Verhältniß ce: c. und hieraus, weil c. bekannt ist, der Werth c.. Schon aus der Formel ist zu entnehmen, daß mit zunehmender Ueberhitzung der Werth c. : c, sich dem Werthe x nähert; bei kleinem Drucke und sehr großer Ueberhitzung würde daher bei Wasserdampf co; c, = und hiernach c, = 0,3604 sein, und den letzteren Werth betrachte ich als die specifische Wärme des Wasserdampfes bei constantem Volumen, wenn der Dampf durch starke Ueberhitzung bei geringem Drucke ganz in den Zustand eines permanenten Gases übergegangen ist. Die Gleichung lehrt ferner, daß das Verhältniß c. : c. zunimmt und c. abnimmt, je mehr sich der Dampf dem gesättigten Zustande nähert. So ergiebt z. B. Gl. (31) für gesättigten Wasserdampf von 0,1, 0,5, 1 und 5 Atmosphären Druck folgende Resultate:

p = 0,1 0,5 1 5

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Jo bedeutet eine noch zu bestimmende Constante und J giebt nun an, wie viel Wärme im überhitzten oder gesättigten Dampfe vom Drucke p und Volumen v mehr enthalten ist, als im Wasser von 0° Temperatur. Ich nenne J kurz die Dampfwärme.

Die Formel muß für überhitzte und gesättigte Dämpfe gleichzeitig gelten; für die letztere Art von Dämpfen kann man aber nach den Grundsätzen der mechanischen Wärmetheorie die Dampfwärme ermitteln, und daher bietet sich ein Mittel, nicht nur die Constante J„ zu bestimmen, sondern auch zu erproben, ob die Gl. (34) zunächst für gesättigte Dämpfe von beliebigem Drucke gilt.

Denkt man sich 1 Kilogrm. Wasser unter dem Drucke p von 0° auf t” erwärmt, so erfordert das eine Wärmemenge:

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*) Gr. d. m. W. S. 282.

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Man erkennt die befriedigende Uebereinstimmung der Werthe beider Zahlenreihen und kann hierin einen neuen Beweis der Zuverlässigkeit der für das Verhalten überhitzter Dämpfe hingestellten Sätze finden.

Die Gl. (34) spricht das „Hirn'sche Gesetz“ aus. Durch Betrachtungen ganz anderer Art kam Hirn zu dem Resultate, daß, wenn man von einem gewissen Anfangszustande ausgeht, der Mehrbetrag der zneren Arbeit oder, wie wir es nennen, die Dampfwärme, dem Producte pv proportional sei, und dieses Resultat legt Hirn dann seinen Untersuchungen zu Grunde.*)

Zu sehr bemerkenswerthen Resultaten, die zu weiterer Bestätigung der Richtigkeit der von mir aufgestellten Zustandsgleichung der überhitzten Dämpfe führen, gelangt man, wenn man Gl. (24) in Gl. (34) benutzt. Es folgt dann:

*) In meiner Besprechung des Hirn'schen Satzes (Gr. d. m. W., S. 435) habe ich auf Grund der Resultate numerischer Rechnungen den Satz nur als näherungsweise richtig hingestellt. Ich halte jedoch den Satz jetzt für streng richtig und suche die Abweichungen, auf welche die dort angestellten Rechnungen führten, in dem Umstande, daß ich mich in der Anwendung der Regnault'schen Formeln allzu stark den Versuchsgrenzen näherte, an welchen die empirischen Formeln von Regnault unsicher werden. Fernerhin nahm ich dort an, wie es bis jetzt allgemein geschehen ist, Wasserdampf von jedem Drucke nähere sich mit zunehmender Ueberhitzung im Verhalten bald einem permanenten Gase, während ich mich jetzt der Ansicht zuneige, daß der Wasserdampf nur bei sehr geringem Drucke und größer werdender Ueberhitzung in den Zustand eines vollkommenen Gases übergeht. g

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Bei sehr kleinem Drucke p und sehr starker Ueberhitzung, wobei der Dampf fast vollständig in den Zustand eines permanenten Gases übergegangen ist, läßt sich noch das zweite Glied in der Klammer vernachlässigen, und man hat dann: J = Jo + c, T, und diese Gleichung ist es, die man auch wirklich für permanente Gase hinstellt. Setzen wir, wie oben J = AU, wo U die inuere Arbeit darstellt, so ist: AdU = c, dT, woraus folgt, daß bei der Erwärmung der Gase die Vermehrung der inneren Arbeit der Temperaturerhöhung einfach proportional ist; ein Satz, von welchem Clausius in seiner Theorie der Gase ausgegangen ist. Es soll nun schließlich auch noch für überhitzte Wasserdämpfe der Werth bestimmt werden, den man bei gesättigten Dämpfen die Gesammtwärme nennt, und für welche Regnault die empirische Formel: *. Z = 606,5 + 0,305t hingestellt hat. Es ist das diejenige Wärmemenge, welche erforderlich ist, um die Gewichtseinheit Wasser bei constantem, der Dampftemperatur t entsprechendem Drucke vollständig in gesättigten Dampf zu verwandeln. Gehen wir weiter, indem wir uns überhitzten Dampf vom Volumen v unter den gleichen Verhältnissen erzeugt denken, so ist bei der Bildung die Arbeit p(v – o) verrichtet worden und die Wärmemenge Ap(v– o) verschwunden, wenn wir mit o das Volumen der Gewichtseinheit Wasser bezeichnen. Man kann aber ohne Bedenken o gegen v vernachlässigen und erhält daher für die Gesammtwärme : Z = J+ Apv oder unter Benutzung von Gl. (34):

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wobei wie oben Jo = 476,11 zu setzen ist. Da diese Gleichung auch für gesättigte Dämpfe gültig ist, so würde, im Falle solche sich wie permanente Gase verhielten, C = 0 sein, und dann wäre: Z = Jo + C„T, und der Vergleich mit der Regnault'schen Formel ergäbe dann für die specifische Wärme des Wasserdampfes bei constantem Drucke c, = 0,305, ein Resultat, auf welches ich unter denselben Voraussetzungen auch früher*) gekommen bin, das aber vorher schon von Rankine auf anderem Wege erhalten wurde. Gl. (39) erklärt jetzt deutlich den Grund der Abweichung von dem richtigen Werthe c, = 0,4805. Die nach Gl. (39) berechneten Werthe von für gesättigten Dampf stimmen ganz befriedigend mit denen der Regnault'schen Formel überein. Man erhält z. B. für: p = 0,5 1 5 Atmosphären, nach Gl. (39) . = 631,15 637,02 653,05 - Regnault . = 631,42 637,00 652,93. Unsere Gl. (39) hat aber den Vorzug, daß sie allgemein auch für überhitzte Wasserdämpfe gilt.

Anwendungen,

Betrachtet man die von mir aufgestellte Zustandsgleichung der überhitzten Dämpfe, zunächst der Wasserdämpfe, als richtig (und ich glaube, daß durch das oben Gegebene die hohe Wahrscheinlichkeit ihrer Richtigkeit wenigstens für die gewöhnlich vorkommenden Dampfpressungen nachgewiesen ist), so ist nun das Mittel gegeben, eine ganze Reihe von Fragen zu lösen, deren Beantwortung bis jetzt unmöglich war. Vor Allem sind es diejenigen Probleme, die zugleich von technischer Bedeutung sind, welche mit Leichtigkeit gelöst werden können, und eine Theorie der Dampfmaschinen mit überhitztem Dampfe unterliegt nun keiner Schwierigkeit mehr. Es sollen hier nur einige der wichtigsten Fälle untersucht werden, von denen mehrere, weil entsprechende Versuche vorliegen, als weitere Bestätigung des oben Gegebenen dienen sollen.

Adiabatische Curve. Ist die Gewichtseinheit überhitzter Dampf von Druck p2 und Volumen v2 gegeben, und dehnt sich derselbe arbeitsverrichtend ohne Mittheilung und Entziehung von Wärme aus, so giebt die adiabatische Curve das Gesetz der Aenderung des Druckes p mit dem Volumen v an; diese Curve giebt auch das Gesetz an, nach welchem bei Dampfmaschinen mit überhitztem Dampfe die Expansionscurve im Indicatordiagramm verläuft. Ist der Anfangszustand durch die Werthe p2, v2, T, und der Endzustand durch p1, v1, T1 gegeben (Fig. 4), so läßt sich nach den Gleichungen (32) leicht die Beziehung zwischen den einzelnen Größen finden; setzt man dort in den 3 Gleichungen dQ = 0, so folgt durch Integration:

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*) Gr. d. m. W. S. 434.

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