Fig. 13

A

v-3/4G D

GD,

1

3

Beispiel. Für F1 = 1/2 G und F—3/4G, s. Fig. 13, ferner c = 0, also K = ∞, giebt obige Gleichung db-1,57 h; es b muss folglich b> 1,57 h, d. i. h < sein. 1,57 Dieses Resultat kann für den ersten Augenblick auffällig erscheinen, da wir unter I. 2) für F und F12 F h<b fanden; es ist aber ganz mit dem Bisherigen in Uebereinstimmung, denn durch das Zwischenglied D nähert sich das Verhältniss mehr dem 1/2 F nur des vollen Ausflusses, bei welchem für F

G

7) Voller Arbeitsverlust beim Uebergang des Wassers aus dem Gefässe D in die Mündung D1, Fig. 11. Die Ableitung ist von der vorigen nur dadurch verschieden, dass wir für den Eintritt des Wassers in die Mündung D1 v3 — vz2 2 (v-vg) 2 den Druckhöhenverlust statt dort 2g 2g

berücksichtigen haben. Es ist

zu

G2 F,2 F2 1

+b.

F2

und ist noch c =

K2

1) +1

(一)

1

+ b2

ganz wie unter I. 2). Der die Erweiterung bestimmende Werth G kommt gar nicht in dem Ausdruck für d vor, ist also ohne Einfluss. Hierbei ist noch die Bemerkung zu A. b. y) zu berücksichtigen.

C) Voller Arbeitsverlust beim Uebergang des Wassers aus dem Rohre A in das Gefäss D. Dieses Verhalten wird allemal eintreten, wenn F viel

1

2

F

2

1

+b2

1

F,2 F2 K2

0, also K Beispiel. Es sei c=0, G F1 = 1/2 F. Man erhält d 3/7h+b. Für h=4b wird dh, es kann also die Röhrentour gleiche Weite behalten. Für h2b wird d = 16/7 b; d. i. die Röhrentour muss von dieser Höhe an erweitert werden. Für G

Fund 4/5 F folgt d9/34 hd, also dh, wenn 34/25 b ist, die Druckhöhe, bis zu welcher eine gleich weite Röhrentour angewendet werden kann, also etwas kleiner.

h

Fig. 14

a) Die Ausflussöffnung G sei kleiner als der Querschnitt des Gefässes D, Fig. 14. Da Verlust durch den freien Fall des Wassers vorausgesetzt wird, so dürfte für den Uebergang des Wassers von A nach D in den meisten Fällen voller Arbeitsverlust angenommen werden, wir betrachten daher dieses Verhalten zunächst und gehen auf die Fälle, wenn bei Verlust durch den freien Fall des Wassers voller Ausfluss oder voller Ausfluss mit Arbeitsverlust beim Uebergang des Wassers aus der Röhre A in das Gefäss D stattfindet, erst später ein. Ist das Gefäss D nicht allmälig zusammengezogen, sondern hat eine Oeffnung in der dünnen Wand, wie Fig. 15, so ist bei Bestimmung des Fig. 15 Werthes von G die Contraction des Wasserstrahls zu berücksichtigen; wir setzen im Folgenden ein Gefäss wie Fig. 14 voraus.

2h

21 ( 1 - C)

D

+b.

Für c=

0, also K=∞, folgt

dz

2 h (1 - C)

F

2 (1 − 6 ) +

+b.

G2

F F12

2 g

F11 ist,

folglich

2

h

1

2

· 2 v 2 — v z2

+

2g

2g

29

F1.u12 K 2

น 1

2

wird v2

F

1

(2g (a+b)

bei c = 0 v2

1

1

K2

V2g(a+b).

Wird G klein angenommen, so erhält man für v2 einen grossen Werth, es ist daher wohl zu beachten, dass v2 nicht grösser werden kann, als wenn die ganze

1

h

Fig. 16

a

Es fragt sich nun ferner: Wie hoch steht das Wasser in der Röhre A? Es ist die Höhe der Wassersäule hx, Fig. 16, zu bestimmen. Wir berechnen die Ausflussgeschwindigkeit v2 für die Wassersäule hy und erhalten dadurch, da uns v2 bekannt, eine Gleichung für die Unbekannte hx. Wir haben eine Wassersäule hx, eine Zuflussgeschwindigkeit u1; über der Wassersäule befindet sich gleichsam luftleerer Raum, es wirkt also der Atmosphärendruck dem Ausfluss entgegen und ist somit hyb statt hy als Druckhöhe einzuführen, wenn wir das Verhalten mit dem gewöhnlichen in lufterfülltem Raume vergleichen; beim Uebergang des

sich daher

Für c=

(a+b) F2 2 ( — — — 11 ) + b.

z F2

Für das obige Beispiel, worin GF1, F-1/2 F, c=0 giebt die Gleichung

1

hx = (1 — 1/4) (a + b) + b = 3/4 a +7 b. Für GF1 = 1/2 F und K5 F1 folgt (a+b) (114) 1 - 1/25

hx

1

+ b 25/32 a + 125/32 b,

1 1 K2 F12

= 0

es steigt also unter übrigens gleichen Verhältnissen die Wassersäule, wenn K kleiner, d. i. c grösser wird. Für G=F und K> F1 folgt hy = b. b. Wird K Fangenommen, fliesst also das Wasser mit der Geschwindigkeit u, zu, so erhält man bei G < F, da ist, hx =∞+b, es bleibt also die Röhre A mit Wasser gefüllt, und man hat es nicht mehr mit Verlust durch den freien Fall des Wassers zu thun. Für G F und K = F1 erhält man hx=+b; die Formel giebt also kein hinreichend scharfes Anhalten, doch lässt sich aus der Ableitung ersehen, dass dann hyb wird, denn es ist dann 222 = hxb+ u, 2 — v2? 1 2 Ist hierbei hb, so ist der Fall nicht denkbar, wie aus der Gleichung für v2 hervorgeht (vergl. S. 250); die Röhren- und Gefässquerschnitte werden nicht mit Wasser ausgefüllt.

1

1

die bereits S. 243 behandelten Verhältnisse. Dasselbe findet statt, wenn K-F1 und G=F1 angenommen wird, da das Auftreten des Verlustes durch den freien Fall des Wassers eine Einwirkung der Zuführungshöhe a und der Atmosphärendruckhöhe b auf die Geschwindigkeit u, des Wassers in der Röhre A voraussetzt, eine solche aber nicht statthaben kann, wenn das Wasser bereits mit der Geschwindigkeit u1 zugeführt wird.

Da in den obigen Formeln F nicht vorkommt, so haben sie auch für eine an der Mündung zusammengezogene, gleich weite Röhre Giltigkeit.

b. Ist v, berechnet, so erhält man hx = 227 (1—3)+6. 2 g Resultirt hierbei hyh-a, so hat man es nicht mehr mit Verlust durch den freien Fall des Wassers zu thun. Kennt man hx, so kann man umgekehrt v2 berechnen v22 hx 2 g (hx —b) 2 g G2, V2

durch

b

1

2

G2

1

F12

2

(1—63) zeigt uns, dass für GF1 hxb wird, für G> F1 erhalten wir

hx =b als b.

1

Dieses Verhalten ist einer besonderen Betrachtung zu unterziehen, da man sehr leicht der Ansicht sein kann, dass die Wassersäule hx, weil sich über derselben luftleerer Raum befindet, nicht kleiner werden könne als b, und hängt hiervon die Entscheidung ab, ob überhaupt voller Ausfluss beim Eintritt des Wassers aus der Röhre A in das Gefäss D möglich ist, wenn G>F1 vorausgesetzt wird. Um zu constatiren, dass voller Ausfluss möglich ist, untersuchen wir bei einem Gefäss mit Fig. 18

nicht verengter Mündung, also Mündungsquerschnitt = Gefässquerschnitt F, welche Gleichung wir für die Geschwindigkeit v2 erhalten, wenn wir die beim vollen Ausfluss stattfindende Einwirkung des schneller fliessenden Wassers auf das langsamer fliessende in Rechnung ziehen. Im Querschnitt E, Figur 18, haben wir die hydraulische Druckhöhe gleich der hydrostatischen Druckhöhe minus der Geschwindigkeitshöhe plus der Zuflussgeschwindigkeitshöhe

über Atmosphärendruck, also h1 absolute Druckhöhe, d. i. Druckhöhe über 0. Auf die Wassersäule h2 wirkt nun von oben 1) die hydraulische Druckhöhe h1, 2) die 12 Ղալ - - v22 Druckhöhe mit welcher das schneller fliessende 2 g Wasser auf das langsamer fliessende einwirkt (s. Aufsatz: Ueber den vollen Ausfluss des Wassers aus Röhren beim Durchgang durch Verengungen u. s. w., „Zeitschr. für Mathem. u. Physik" von Dr. O. Schlömilch I, S. 281), 3) die Höhe h2 der Wassersäule ha; entgegengesetzt wirkt die Atmosphärendruckhöhe b; ferner behält das Wasser nach der Einwirkung des schneller fliessenden XXII.

Setzen wir noch c = 0, also K

2 g

a+b, es wird daher hxb-3/4(a+b)=1/4b-3/4α.

Da hy nicht gleich Null werden kann, so muss im vorliegenden Beispiele 1/4 6 3/4 a sein, d. i. es b > d. i. es muss

a<

b

3

b 3

sein; für a ist kein voller Ausfluss ohne Arbeitsverlust möglich.

Der Umstand, dass wenn G > F1, die Höhe hy der Wassersäule kleiner als b ausfällt, bedingt auch noch eine andere Bestimmung der Grenze für die Geschwindigkeit v2 als die früher angegebene. Wir haben die Gleichung v22 G2 v22

G2

hx = b + 222 ( 1 − 02732) 2g

Ъ+

29

2g

F12 2g