James Watt par M. François Arago von demselben Bearbeiter und in demselben Verlage (1881) ist genau nach den nämlichen Prinzipien und in derselben Weise durchgeführt, wie das soeben besprochene Büchlein. München. Wallner. Französisches Lesebuch in drei Stufen für höhere Lehranstalten von Karl Kaiser, Schuldirektor in Barmen. 3. Teil. Oberstufe. Mühlhausen, Verlag der Hofbuchhandlung von W. Bufleb. 1881. Der vorliegende 3. Teil des französischen Lesebuches von Kaiser rechtfertigt in jeder Beziehung die gute Aufnahme, welche die beiden ersten Teile gefunden haben. Der Verfasser stellt bekanntlich als Endzweck der Lektüre Einführung des Schülers in die schöne Literatur der Franzosen auf und ist demgemäf's bestrebt, durch eine reiche Auswahl, bei welcher hier das Drama in den Vordergrund tritt, ein gutes Bild der französischen Literatur zu bieten. Die Ausstattung des Buches ist sehr sorgfältig; die Anmerkungen, wenn auch hie und da sparsam, sind doch immer da angebracht, wo auch auf dieser Stufe eine Aufklärung noch notwendig erscheint. Die als Anhang gegebenen Notizen der Schriftsteller und der Abrifs der französischen Literaturgeschichte in französischer Sprache sind ohne Zweifel willkommen zu nennen und in der Schule gut verwertbar. Ich zolle deshalb ohne Rückhalt der Abfassung dieses Lesebuches meinen Beifall, kann aber trotzdem persönlich von meiner Anschauung gegen den Gebrauch von Chrestomathien in den oberen Gymnasialklassen nicht abgehen, da ich nicht einsehe, warum ich z. B. den Cid im 1. Akte bei der 3., im 4. bei der 3. und im 5. Akte bei der 5. Scene (und so ähnlich bei den anderrn Dramen) beginnen soll, oder wozu mir 438 Seiten Lesestücke in diesem 3. Teile dienen, wenn ich, bei der gegebenen Stundenzahl doch nur je ein prosaisches und ein poetisches Stück mit den Schülern zu lesen im stande bin. München. Wallner. Dr. Sigm. Günther, Die Lehre von den gewöhnlichen und verallgemeinerten Hyperbelfunktionen; mit vielen in den Text eingedruckten Holzschnitten. Halle a/S., Louis Nebert. 1881. X und 440 S. Pr. M 10,80. Wer sich mit den Hyperbelfunktionen nur einigermafsen beschäftigt hat, wird das grofse Interesse, welches ihr Studium wegen der Analogie mit den Kreisfunktionen bietet, ebenso wenig in Abrede stellen, als den vielfachen Nutzen ihrer Anwendung auf die verschiedensten Probleme der Algebra und Analysis überhaupt, der Geometrie, sowie der Physik und der Mechanik insbesondere. Dieselben sind deshalb auch schon seit langer Zeit Gegenstand der Untersuchungen bedeutender Mathematiker gewesen, welche sich bemühten, jene Analogien zwischen den Koordinaten des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel aufzufinden; Moivre, Riccati, Foncenex, d'Alembert, Lambert und im laufenden Jahrhundert Gudermann, Forti, Gronau, Heis, Hoüel, Novi, Laisant, Bellavitis u. a. haben sich nach einander mit diesen Funktionen beschäftigt. Aufser den Arbeiten dieser Männer sind dann bei einem eingehenden Studium des genannten Zweiges der Funktionentheorie noch zahlreiche Versuche anderer zu berücksichtigen, welche den Begriff der goniometrischen Funktionen des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel nach bestimmten Richtungen zu erweitern suchten, so dafs man sich zu jenem Zweck bis jetzt auf eine nicht unbeträchtliche Zahl kleinerer und gröfserer Schriften von deutschen wie ausländischen Mathematikern angewiesen sah. Es ist daher ein sehr zeitgemäfses und verdienstvolles Unternehmen, dafs Prof. Günther das gesamte Material, welches bisher zur Lehre von den Hyperbelfunktionen und der Verallgemeinerung dieser und der Kreisfunktionen veröffentlicht wurde, zu einem systematischen Ganzen zusammengestellt und verarbeitet hat. Eine ausführliche Besprechung seines vortrefflichen Werkes würde in Anbetracht der aufserordentlichen Reichhaltigkeit desselben an diesem Ort zu weit führen und der Unterzeichnete wird sich auf eine mehr summarische Skizzierung des Inhalts um so eher beschränken können, als es ihm vorzugsweise darum zu thun ist, die Herren Kollegen auf ein Werk aufmerksam zu machen, welches deren Beachtung im vollsten Mafse verdient. Das I. Kapitel enthält eine historisch-bibliographische Einleitung und zeugt wieder von des Verf. umfassender Kenntnis nicht nur der deutschen, sondern auch der ausländischen mathematischen Literatur, welche schon so oft Gegenstand rückhaltsloser Anerkennung geworden ist. n n n Im II. Kapitel werden die Kreis- und Hyperbel-Funktionen aus einer gemeinsamen algebraischen Quelle abgeleitet. Der Verf. geht von den an - bn Funktionen U und Va"+b" aus, transformiert die wicha b tigsten aus diesen Definitionen abgeleiteten Beziehungen zwischen U und V in der Weise, dafs er für a und b beziehungsweise die Wurzeln der Gleichung x x.√3+1=0 substituiert und gewinnt dadurch die Hauptformeln der Goniometrie des Kreises. Nicht minder interessant wäre die Entwicklung der entsprechenden Beziehungen für die hyperbolische Goniometrie gewesen. Diese vollzieht sich einfach dadurch, dafs man für a und b die bezüglichen Wurzeln der Gleichung x2 -x. √5+1=0 einsetzt, wodurch U und V, in 2 Sin (nz) und 2 Cos (nz) übergehen, wenn man z so wählt, dafs 2 Sin 2 = 1 wird. Die Begründung könnte allerdings erst im nächsten Kapitel folgen und dies ist wohl der Grund, warum der Verf. die gedachte Transskription unterlassen hat. Indessen könnte nach des Ref. Erachten unbeschadet der systematischen Anordnung des Stoffes der Inhalt des III. Kapitels, welches die Theorie der einfachen Hyperbelfunktionen behandelt, dem II. Kapitel vorangestellt werden. Dieser Lehre selbst hat der Verf. sowohl vom geometrischen als auch vom analytischen Standpunkt aus unter steter Rücksichtnahme auf die verwandten Kreisfunktionen eine umfassende Darstellung gewidmet; den Leser dürften neben anderem besonders die auf die involutorische Verwandtschaft bezüglichen Abschnitte interessieren. n n In der geometrischen Entwicklung dieses III. Kapitels fallen zwei Punkte auf, erstens nämlich, dafs die aufgestellten Definitionen nur für den ersten Quadranten erklärt sind, während eine geometrische Veranschaulichung der sechs Funktionen auch für die übrigen drei Quadranten sehr erwünscht wäre, und dann dafs nach dem gewählten Bild der hyperbolischen Consecante diese im ersten Quadranten negativ ist und auf die Gleichung Sin u . Cofec u == - 1 führt; freilich wird diese im analytischen Teile nicht strenge aufrecht erhalten, da man an verschiedenen Stellen auf Gleichungen stöfst, welche die Beziehung Sin u . Cosec u = 1 zwischen Sinus und Cofecans desselben Winkels u zur Voraussetzung haben. Das IV. und V. Kapitel enthält eine überraschende Menge von interessanten Anwendungen der Hyperbelfunktionen auf Fragen der Algebra und Analysis, der Geometrie und der mathematischen Physik, welche in sehr geeigneter Weise den grofsen Nutzen und die häufige Verwendbarkeit der genannten Funktionen hervortreten lassen. Wer sich der Mühe unterzieht, diese Kapitel aufmerksam zu studieren, wird diese Behauptung bestätigen, selbst wenn er sich bisher den Hyperbelfunktionen gegenüber indifferent oder gar ablehnend verhalten haben sollte. Im VI. Kapitel ist ein Abrifs des rechnerischen Teils der absoluten Raumlehre entwickelt, in welcher die Hyperbelfunktionen dieselbe Rolle spielen, wie die Kreisfunktionen im rechnenden Teil der Euklidischen Geometrie. Das VII. Kapitel beginnt mit allgemeinen Betrachtungen über die Generalisierung mathematischer Begriffe und Probleme. Zum Zweck der Anwendung der aufgestellten Sätze auf die Verallgemeinerung unserer Funktionen greift der Verf. von den verschiedenen Definitionen derselben die bekanntesten und einfachsten heraus, nämlich I. Es ist eine Kurve gegeben, deren Gestalt durch die Gleichung x2 + y2 1 bestimmt ist; wenn man einen beliebigen Punkt dieser Kurve durch einen Fahrstrahl mit dem Mittelpunkt verbindet, so schliefst derselbe mit der positiven Richtung der X-Axe einen Flächeninhalt= u ein, und es sind unter der Voraus 1 sin setzung rechtwinkliger Koordinaten Sin cos u und Cof u beziehungsweise die Ordinate und Abscisse des beliebigen Kurvenpunktes. II. können unsere Funktionen durch die Gleichungen COS } } u= u2 us u=17 + + + 2! 4! 6! .... sin } Sin 25 u u = u+ + 干 + und 3! 5! 7! definiert werden; alsdann stehen diese Reihen zu einander in einer Beziehung, welche a priori auch durch die gesetzt werden kann. III. können die goniometrischen Grundfunktionen des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel als Lösung der partiellen dau d2 u Differentialgleichung + dx2 dy' 0 betrachtet werden. Im Anschlufs an diese Definitionen teilt der Verf. die Erweiterungen derselben ein, wie folgt. 1) Die obige Definition I bleibt im ganzen unverändert, doch tritt an die Stelle der bisherigen Kurvengleichung die allgemeinere Relation x+y=1, in welcher m zunächst noch eine beliebige rationale Zahl bedeutet. 2) Die Definition I wird dadurch erweitert, dafs man vom rechtwinkligen Koordinatensystem absieht und demnach unter Sinus die von dem variablen Kurvenpunkt bis zur X-Axe gezogene und mit deren positiven Richtung einen beliebigen Winkel bildende Strecke und unter Cosinus das durch diese Gerade auf der Abscissenaxe gegen den Anfangspunkt hin abgeschnittene Stück versteht. 3) Die Strecke, welche den Sinus repräsentiert, steht zwar senkrecht zur Abscissenaxe, dagegen tritt an die Stelle der Relation x + y2=1 in der Definition I die allgemeinere Gleichung Ax + By2 = 1. 4) An Stelle der Reihen in der Definition II werden allgemeinere geup+m.n.q wählt, indem die Glieder derselben die Form annehmen, aus (p+m.n. ·q)! welcher die einzelnen Glieder selbst erhalten werden, wenn man m = 0, 1, 2, 3 .. .. setzt. 5) Statt der Funktionen cos x und sin x sowie Cos x und Sin x liegen zwei Reihen von je n Funktionen desselben Arguments, nämlich die zwei .... n (x) Reihen (x) (x) (x)·(2) und (c)(x))... vor. Aus diesen und)(x)(x)· In Reihen werden entsprechend den Determinanten in der Definition II eine doppelt-orthosymmetrale und eine doppelt-orthosymmetrische Determinante n ten Grades gebildet und jede = 1 gesetzt und nun wird der Charakter welcher durch die erhaltenen Gleichungen der Funktionen f(x) und f(x)' bestimmt ist, näher untersucht. 6) Die Gleichung in der Definition III wird durch die Gleichung du da u do u + + =0 ersetzt, von welcher Auflösungen existieren, die sich dx2 dy' dz2 geometrisch interpretieren lassen. Besonders in Bezug auf diese werden die betreffenden Funktionen diskutiert. Der Schlufs des VII. Kapitels ist der Erledigung der Nummer 1 des vorstehenden Programms gewidmet. Es wird vorzugsweise der Exponent 2 p m=1 und m in Betracht gezogen, wobei im letzten Fall unter 2q+1 p und q ganzzahlige Werte verstanden werden. Wenn die erstere Gleichung bei der Untersuchung zu Grunde gelegt wird, so erhält man die sogenannten longimetrischen Funktionen; der andere Fall führt auf Kurven mit vier kongruenten Quadranten und die zugeordneten Funktionen haben den Charakter der Periodizität. Die Nummern 2 und 3 werden im VIII. Kapitel erledigt; dasselbe behandelt die schiefwinkligen goniometrischen Funktionen des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel und die rechtwinkligen goniometrischen Linien der Ellipse und willkürlichen Hyperbel. Das IX. Kapitel hat die Nummern 4 und 5 zum Gegenstand der näheren Erforschung und die Nummer 6 wird im X. und Schlufskapitel genauer erörtert, in welchem die Kugelfunktionen und die Hyperboloidfunktionen erster und zweiter Art zur Diskussion gelangen. So viel in kürze über das aufserst lehrreiche Buch, das die vollste Beachtung aller Kollegen verdient, welche sich mit dem gegenwärtigen Stand unserer Kenntnis der Hyperbelfunktionen bekannt machen wollen. Schröder. Nürnberg. W. Adam, Lehrbuch der Geometrie, 2 Teile. Berlin 1881. Verlag von Adolf Stubenrauch. Dieses Lehrbuch setzt in seinem 1. Teile Planimetrie Schüler voraus, welche durch einen geometrischen Anschauungsunterricht bereits gefördert sind, und ist zunächst für Lehrerseminarien bestimmt, daher auch die Lehre von den Parallelen, die Kongruenz der Dreiecke flüchtiger behandelt, als es sonst geschieht. Den gewöhnlichen Abschnitten reihen sich drei Kapitel an über algebr. Geometrie, die Transversalen und die harmonische Teilung, über die metrischen Relationen an den reg. Polygonen, dem Kreise und den Teilen der Kreisfläche; den Schlufs bildet ein Anhang über Konstruktion der Ellipse, Parabel und Hyperbel. Der aufgenommene Lehrstoff erweitert, wie schon hieraus erhellt, nicht nur innerhalb der Euklidischen Elemente, sondern auch über diese hinaus, die Anschauungen und Kenntnisse. Mit der Anordnung dieses Stoffes aber dürfte mancher nicht immer einverstanden sein; nicht zu empfehlen sind die 5a a 2a. 6a statt 2 Zerlegungen V anstatt 2 Va2 + ( a ) 2, V2a 2√ (2a)' — a2; die gesuchte Quadratseite in Nr. 14 des § 57 wird = Der 2. Teil Stereometrie fachen Konstruktion etc. ist in seinen ersten Abschnitten etwas mager gehalten, die hieher gehörigen Wahrheiten verstehen sich kaum von selbst; auch die Lehre von der Gleichheit der Parallelepipede und Prismen ist nicht durchsichtig genug. Dagegen ist die Berechnung der Oberflächen und Inhalte der Körper (Obelisk und Prismatoid inbegriffen) mit besonderer Sorgfalt durchgeführt und den reg. Polyedern ein eigener Abschnitt gewidmet. Das letzte Kapitel behandelt noch einige im praktischen Leben häufig vorkommende Körperformen. Dieses Lehrbuch werden alle mit Nutzen gebrauchen, welche sich auf dem Wege der Anschauung in die Geometrie einführen und schliesslich zu wissenschaftlichen Resultaten gelangen wollen. Fr. Bufsler, Elemente der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Berlin 1881. Verlag von Th. Enslin. Abweichend von den meisten neueren Lehrbüchern der Trigonometrie werden mit Recht die goniometrischen Funktionen nicht als Verhältnisse der Seiten rechtwinkeliger Dreiecke, sondern als Verhältnisse der Ordinaten eines Punktes und dem zugehörigen Radius dargestellt, wodurch der Übergang zu den Funktionen stumpfer und erhabener Winkel sich von selbst ergibt. Sofort geht der Verf. zu Berechnung der rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecke, dann der regulären Polygone über. Es folgen die Funktionen zusammengesetzter Winkel, deren Summe = 2 R ist, hierauf die Sätze für die Berechnung des ungleichseitigen Dreieckes; unter den Aufgaben über dasselbe sind diejenigen besonders hervorgehoben und gruppenweise zusammengefafst, welche mittelbare Bestiminungsstücke enthalten. Der letzte Abschnitt gibt einige wichtige Sätze und Aufgaben über Vierecke. Die sphärische Trigonometrie entwickelt |