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deutscher Ingenieure.

punkt gehen kann. Sie muß sich vielmehr der Ordinatenachse asymptotisch nähern. Bei 0° verschwindet zwar der Verdrängungswiderstand vollständig (k - k2 = 0), weil kein Verdrängungsraum mehr vorhanden ist (F = Fo sin a = 0 für a = 0); es bleibt jedoch ein endlicher Gesamtwiderstand gleich dem Widerstand der äußeren Reibung (W3) bestehen. Soll nun das Produkt kF endlich bleiben, wenn F=0 wird, so muß k = ∞ werden.

Die bis 15° (und weiter) fallende Kurve der k muß somit einen tiefsten Punkt erreichen und sich von dort ab steigend der Ordinatenachse nähern. Der auf die Flächenprojektion bezogene Widerstandskoeffizient durchschreitet zwischen 0o und 12o ein Minimum.

Für die Widerstandskoeffizienten der äußeren Reibung erhält man nun bei

150 0,00848

120 0,011.

α

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In der gleichen Figur sind auch die von der äußeren Reibung befreiten Widerstandskoeffizienten (k-k2) zwischen 15° und 30° eingetragen. Diese Kurve muß nun in ihrer Verlängerung nach unten durch den Ursprung des Koordinatensystemes gehen, da bei der parallelen Platte (a=0°) lediglich die Flächenreibung als Widerstand wirkt. Diesen enthält aber die Kurve nicht mehr. Unstatthaft wäre es dagegen, die Verlängerung der Versuchskurve (k) durch den Ursprung gehen zu lassen.

Die Kurve k-k2 ist in Fig. 36 bis zum Ursprung verlängert; ihr durch die Versuche zwischen 30° und etwa 15° festgelegter Verlauf gestattet diese Verlängerung ganz zwanglos. Die Ordinaten dieser Kurve stellen den durch die Beschleunigung und durch die innere Reibung allein verursachten Bewegungswiderstand in dem Gebiete zwischen 0 und 120 dar, das durch unmittelbare Versuche nicht gedeckt ist. Da sich nun gerade für dieses Gebiet die äußere Reibung zuverlässig auf Grund des Frankschen Reibungswertes berechnen läßt, so kommt man in die Lage, auch den Gesamtwiderstand bei Winkeln zwischen 12o und 0° bestimmen zu können.

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K2 = 0,0134 0,0195 0,023 0,0277 0,0464 0,0699 0,14 0,28

K2

für n = 2:

= 0,0268 0,0390 0,046 0,0554 0,0928 0,1398 0,28 0,56 Auch diese Werte sind in Fig. 36 eingetragen. Für n=2 fällt der Reibungswert doppelt so groß aus als für n=1. Die wahre Kurve k2 wird so zwischen den Kurven für n 1 und n = 2 verlaufen, daß sie bei größeren Winkeln in diejenige für n = 1, bei kleinen in die für n = 2 übergeht, wie in Fig. 36 eingezeichnet (strichpunktiert).

Die Ordinaten der Kurve k des Gesamtwiderstandes erhält man jetzt als Summe der Ordinaten der strichpunktierten Kurve k2 und der leicht ausgezogenen Kurvek — К2.

Wie ersichtlich, zeigt die k-Kurve ein scharf ausgeprägtes Minimum bei 5o.

Der Kleinstwert von k, der von keiner noch so flach gelegten Platte und von keinem noch so scharfen Keil unterschritten werden kann, ist k = rd. 0,10.

Den kleinsten Widerstand in der Bewegungsrichtung hat bei gegebener Flächenprojektion eine unter 5o geneigte Platte, oder ein Keil von 100 ganzem Keilwinkel.

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Die Richtung und Größe des Oberflächendruckes.

Der resultierende Oberflächendruck P, Fig. 37, hat eine Komponente R in Richtung der Fläche, die gleich der äußeren Reibung ist. Der Bewegungswiderstand infolge der äußeren Reibung ist

Nun ist auch

daher

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Die Komponente von P in Richtung der Bewegung ist gleich dem gesamten Bewegungswiderstand W. Man hat also

demnach mit

W = P sin (a + ρ),
W=kF1c2

den gesamten Oberflächendruck

P=kFc2

g

1

g

sin (α + ρ)

15. Januar 1910.

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Hiernach sind in Fig. 38 die Winkel e als Ordinaten zu den Flächenwinkeln a als Abszissen eingetragen, wobei für k2 die strichpunktierte Kurve in Fig. 36 zugrunde gelegt ist. Noch bei 6o Neigung der Fläche beträgt die Abweichung der Oberflächenkraft von der Normalen erst rd. 3o, bei 10o Neigung nur rd. 1°30′. Von 6o Neigung an wächst aber e sehr schnell; bei 2o Neigung ist schon ( = rd. 11o geworden, bei 1° Neigung = rd. 24°. Sinngemäß wird e = 90° bei a = 0, d. h. der parallelen Platte.

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e' bewegt sich in den Grenzen von 20° (bei größeren Winkeln) bis höchstens 90° (bei der parallelen Platte). Der Mindestwert von d' ist nach Fig. 34 c' = csina, also der Mindestwert von k1 gleich sin2a. Auch bei kleinen Winkeln dürfte gemäß Fig. 35 c' sich nicht allzuviel von esina unterscheiden, da bei a = 0° c' = 0 werden muß. Man kann daher überschlägig c = csina, somit k1 = sin2 a setzen. Hiernach ist in Fig. 36 die Kurve der Beschleunigungskoeffizienten k1 eingetragen (gestrichelt).

Da nun W, W1 und W2 einzeln dem Quadrat von eund

dem Werte FY proportional sind, so trifft dies auch für W3

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zu.

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worin sich jetzt k3 ermitteln läßt nach k3k-k2 - К1.

Auch die Werte von k3 (Widerstandskoeffizienten der inneren Reibung) sind in Fig. 36 eingetragen. Man erkennt, daß bei allen Flächenwinkeln die innere Reibung einen gröBeren Beitrag zum Gesamtwiderstand liefert als die Beschleunigung. Von 15o abwärts ist k3 sogar ein Mehrfaches von k1. Daran würde sich auch nicht viel ändern, wenn wirklich bei den kleinen Winkeln der Beschleunigungskoeffizientos erheblich größer als sin a wäre.

Der Auftrieb schräger ebener Platten.

sin2 a

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Eine unter dem Winkel βẞ gegen die Wagerechte geneigte Platte, Fig. 39, werde unter dem Winkel a gegen ihre eigene Richtung fortbewegt. Sie erfährt durch die Luft einen Druck P, der mit der Normale den Winkel ( einschließt. ( ist abhängig von a und kann aus Fig. 38 entnommen werden. Phat eine lotrechte Komponente PA, die als Auftrieb bezeichnet wird, weil sie dem Eigengewicht der Platte und ihrer sonstigen Gewichtbelastung entgegenwirkt. Bei hinreichender Geschwindigkeit ist PA imstande, die Platte zu tragen. Die zum Antrieb in der Bewegungsrichtung erforderliche Triebkraft W ist die in diese Richtung fallende Komponente von P.

Man erhält nach Fig. 39

PA P1 = P cos (β + ρ),
W = P sin (a + ρ).

Der letztere Wert kann auch geschrieben werden:

W=kFc2,

g

wenn F die Projektion der Fläche auf eine zur Bewegungsrichtung senkrechte Ebene ist. k sind die zu a nach Fig. 36 gehörigen Widerstandskoeffizienten.

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[graphic]

A

W

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In diesen Ausdrücken sind ka und Flächenwinkeln a und ẞ sowie von e und k abhängig; sie können mit den Werten von ( aus Fig. 38 uud von kaus Fig. 36 nach den obigen Beziehungen bestimmt werden.

Man kann hiernach berechnen, wie viel PS erforderlich sind, um mit einer Fläche von gegebener Größe Ho und gegebenen Winkeln a und ß einen Auftrieb von Pa kg zu er

zielen.

Umgekehrt gibt die letzte Gleichung an, wieviel Plattenfläche nötig ist, um bei gegebenen Winkeln a und ẞ mit einer gegebenen Leistung N einen vorgeschriebenen Auftrieb PA zu erhalten.

Wenn die Fläche Fo wie in Fig. 39 nicht wagerecht, sondern schräg aufwärts fortschreitet, so wird die Last, die mit Fo verbunden ist, nicht nur getragen, sondern auch gehoben, es wird also nutzbare Hubarbeit verrichtet.

Die senkrechte Komponente der Geschwindigkeit ist nach Fig. 39 gleich e sin (β - a), somit die sekundliche Hubarbeit in PS Nn

PA

75-c sin (β-a).

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1

W = ko Fo 1 c2.

g

Das Verhältnis des erreichbaren Auftriebes zu der in

Anwendung gebrachten Triebkraft wird

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PA W

cos (β + ρ) sin (α + ρ)

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7

6

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4

Verhältnis PA:W (Uebersetzung)

3

2

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0 1 2 3 4 5 6 7

10°

15°

20°

25°

30°

40°

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In Fig. 41 sind ferner die auf die wirkliche Oberfläche (Fo) bezogenen Koeffizienten ko und (KA)o für Antrieb und Auftrieb als Ordinaten zu a als Abszissen aufgetragen. Absolut genommen ist der Auftrieb am größten bei 32°30'. Das Verhältnis von Austrieb und Antrieb ist aber hier (wie aus Fig. 40 ersichtlich) viel ungünstiger als bei kleineren Winkeln. Fig. 41 kann Verwendung finden, um die Antriebkraft und -arbeit sowie den Auftrieb in einfacher Weise zu bestimmen (s. auch die Formeln in Fig. 41 oben). Fig. 42 enthält das Gleiche in größerem Maßstabe von a = 0 bis a 15°.

=

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[graphic]

0,11

0,10

0,60

0,50

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0,40

(Kalo und ko

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0,30

0,20

0,10

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30° 40° 50° &, Flächenwinkel

0,100

0,09

0,08

0,07

Thu 0,06

Round (Kalo

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

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In Fig. 40 sind auch diese Werte eingetragen. Bis etwa

=

15o herab ist die Reibung, wie man erkennt, von geringem Einfluß auf die Uebersetzung. Bei 60 dagegen ist der wahre cotg 60 9,51 Auftrieb infolge der Flächenreibung schon 6,11 6,11 = 1,55 mal kleiner als derjenige, den man ohne Rücksicht auf die Reibung nach der bisherigen Rechnungsweise erhält. Bei kleineren Neigungswinkeln ist das Mißverhältnis noch viel größer. Die Nichtberücksichtigung der Reibung hat somit bei Winkeln unter 10°, also gerade bei den für die Flugtechnik wichtigsten Flächenneigungen, eine grobe Abweichung der Rechnung von den wirklichen Verhältnissen zur Folge.

Der Winkel von 5o erscheint mit Berücksichtigung der Oberflächenreibung als der für den Auftrieb günstigste. Er ergibt den größten Auftrieb bei gegebenem Antrieb.

2

2

Wo = ko Fo 2 c2 + k. F. FY 7 c2

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S

S

g

0

=ko Foc2(1+), W = W (1+),

g

Fo

wenn W der Widerstand ausschließlich der Stirnflächen ist. Die Antriebleistung wird

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Aus dieser kubischen Gleichung ist Fo zu berechnen. Ein erster Näherungswert ist Fo = B; er ist gleich der Tragfläche, die ohne Stirnwiderstände nötig wäre (vergl. oben). Fo ist stets größer als B, und zwar verhältnismäßig um so mehr, je geringere Neigung die Tragflächen haben.

Zur Erläuterung der Formeln dienen nachstehende Beispiele.

1) Man soll durch eine unter 5o gegen die Wagerechte geneigte ebene Fläche, die motorischen Antrieb erhält, einen Mann samt dem Gewicht der Flugmaschine, zusammen 300 kg, in der Luft schwebend erhalten. Die Antriebschraube soll 30 PSe entwickeln können. Wieviel qm Tragfläche sind erforderlich und mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Flieger in wagerechter Richtung?

a) ohne Rücksicht auf die Stirnwiderstände, b) mit Berücksichtigung einer senkrechten ebenen Stirnfäche von 0,3 qm.

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deutscher Ingenieure.

Zusammenfassung.

Die wesentlichen Ergebnisse der vorliegenden Arbeit sind folgende:

1) Das von Eiffel durch Versuche mit ebenen, zur Bewegungsrichtung senkrechten Platten gefundene Gesetz der Abhängigkeit des spezifischen Widerstandes von der absoluten Größe der Fläche (je kleiner die Fläche, desto kleiner der spezifische Widerstand) wird durch die Versuche von Frank auch für wesentlich kleinere Flächen als die von Eiffel verwendeten voll bestätigt. Die Zahlenwerte von Eiffel und Frank sind in bester Uebereinstimmung.

2) Die Versuche von Eiffel und Frank mit Keilflächen stimmen überein und ergänzen sich hinsichtlich des Umfanges.

3) Die Ergebnisse der Frankschen Versuche mit senkrecht abgeschnittenen Kreiszylindern und mit Kegeln verschiedener Neigung stehen im schärfsten Widerspruch mit denen der entsprechenden Versuche Eiffels. Der Fehler dürfte auf Seite Eiffels liegen.

4) Die von Eiffel aus seinen Versuchen mit geneigten ebenen Platten hergeleiteten Widerstandswerte bedürfen einer wesentlichen Berichtigung, die zur Folge hat, daß die von Eiffel für solche Platten ausgesprochenen Gesetzmäßigkeiten hinfällig werden, ausgenommen den plötzlichen Wechsel des Widerstandsgesetzes bei 30° Neigung.

5) Die (verbesserten) Werte Eiffels können als zuverlässiger Ausdruck des Widerstandsgesetzes ebener Platten zwischen 20° und 90° Neigung gelten, sowohl der Art nach, als hinsichtlich der Absolutwerte des Luftwiderstandes.

6) Der Franksche Koeffizient für die Oberflächenreibung der Luft ist in vorzüglicher Uebereinstimmung mit dem Widerstandskoeffizienten der Dämpfe und Gase in Rohrleitungen nach den neuesten Versuchen.

7) In dem Gebiete zwischen 100 und 0° Flächenneigung wird die Oberflächenreibung von entscheidendem Einfluß auf den spezifischen Widerstand.

8) Durch Vereinigung der Versuche Eiffels mit Platten von 200 bis 30° Neigung mit dem Frankschen Reibungsgesetz läßt sich der Luftwiderstand in dem für die Flugtechnik wichtigsten Gebiet zwischen 0o und 150 mit Sicherheit herleiten. Bei 50 Neigung durchschreitet der auf die Einheit der Flächenprojektion bezogene Widerstand einen Kleinstwert

(kmin = 0,1 in der Formel W=kF7 c2).

g

9) Der Luftwiderstand besteht aus drei wesentlichen Teilen: dem Beschleunigungswiderstand, dem Widerstand der äußeren Reibung und dem der inneren Reibung. Die äußere Reibung kommt erst von 15o abwärts in Betracht. Die Beschleunigung und die innere Reibung sind (abgesehen von den ganz kleinen Winkeln) von gleicher Größenordnung, jedoch überwiegt bei allen Winkeln die innere Reibung.

10) Die Richtung der resultierenden Oberflächenkraft ebener Flächen beginnt erst von etwa 5o Neigung an (abwärts) erheblich von der Normale abzuweichen (bei 50 Flächenneigung ist die Abweichung 4o, bei 1° Neigung rd. 24°).

11) Der Auftrieb geneigter ebener Platten bei wagerechter Bewegung ist unter 5o Flächenneigung im Verhältnis zum Antrieb (Vortrieb) am größten, und zwar rd. 6,2 mal so groß wie der Vortrieb.

12) Der absolut größte Auftrieb tritt bei rd. 32o Flächenwinkel auf.

Nachbemerkung.

Luftwiderstand von rechteckigen Flächen

in verschiedenen Lagen.

Die oben entwickelten Werte des Widerstandes und Auftriebes geneigter ebener Platten beruhen, abgesehen von dem Einfluß des Reibungswiderstandes, im wesentlichen auf Eiffels Versuchen mit quadratischen geneigten Platten. Versuche von Dines, Langley und andern haben demgegenüber ergeben, daß rechteckige geneigte Platten unter Umständen erheblich kleinere Widerstandswerte aufweisen als quadratische von gleicher Flächengröße und Neigung, wenn

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