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8. Januar 1910.

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artige Fälle hervor. Jede Theorie, die diesen Umstand nicht berücksichtigt, kann nur als völlig unhaltbar bezeichnet werden, soweit sie Flächen betrifft, die weniger als etwa 12° Neigung gegen die Bewegungsrichtung haben.

Bei der außerordentlichen Wichtigkeit des Zahlenwertes I' 0,00244 der äußeren Reibung dürfte es angebracht sein, zu untersuchen, wie sich dieser Wert zu den Widerständen verhält, die strömende Gase und Dämpfe in Rohrleitungen durch die Rauhigkeit der Wände erfahren. Ueber diesen Gegenstand liegen heute übereinstimmende Ergebnisse vor.

Der Rohrleitungswiderstand wird in den technisch wichtigen Fällen, ausgenommen solche mit sehr langsamer Strömung, dadurch hervorgerufen, daß sich die in fortschreitender Bewegung in der Nähe der Wandungen befindlichen Gas- oder Dampfteilchen an den Rauheiten der Wände stoßen, dabei ihrer Bewegung in Richtung der Rohrachse ganz oder teilweise verlustig gehen und bei ihrem Wiedereintritt in die fortschreitende Kernmasse von neuem beschleunigt werden müssen. Bei hinreichender Länge der Röhre gerät hierdurch schließlich die ganze Masse in eine Art unregelmäßig wirbelnde (»turbulente«) und gleichzeitig fortschreitende Bewegung. Der Widerstand, der im ganzen von den Wandflächen ausgeübt wird, läßt sich theoretisch nicht bestimmen, so wenig wie der Reibungskoeffizient zwischen zwei festen Körpern. Er ist wie der Franksche Luftreibungskoeffizient eine reine Erfahrungszahl und muß mit diesem identisch oder mindestens von gleicher Größenordnung sein.

Ist 4p der Druckabfall in einer Leitung von 1(m) Länge und d(m) Durchmesser bei einer Geschwindigkeit von c (m/sk) und einem spezifischen Gewicht von y (kg/cbm), so gilt nach den Versuchen von Eberle an Dampfleitungen

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Auch für Luft gilt nach Fritzsche in dem Intervall der Versuche von Eberle der gleiche Wert.

Faßt man den Leitungswiderstand als eine Kraft auf, die, am inneren Umfang des Rohres gleichmäßig verteilt, auf die durchströmende Masse hemmend einwirkt und auf 1 qm Innenfläche den Wert R hat, so ist der gesamte Reibungswiderstand der Leitung gleich л dl R. Dieser Wert ist auch gleich dem Unterschied der Drücke auf den Leitungsquerschnitt am Beginn und Ende der Leitung, also gleich 4p oder, wenn Ap wie oben in kg/qem ausgedrückt wird, gleich 10000 p

π d2 4

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πα 4

WI 2 k' Fo

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c2 cos3 α.

Der tatsächliche Widerstand ist, wenn k der durch Versuche bestimmte Koeffizient desselben ist,

W

k FX c2.

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Wegen

ist daher

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deutscher Ingenieure.

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Für die kleinen Zylinder von Frank (F 1/100 qm) ist (nach den Skizzen in Z. 1906) rd. 1,9, daher

F'

F

d

4 1,9 7,6.

Der Koeffizient für die kreisförmige Stirnfläche allein wird also k―0,00244 7,6-0,0185. 0,553 ist demnach

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k's

Ks

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0,5345.

Für die größeren Zylinder (mit /100 qm Stirnfläche) ist rd. 1, somit

Ks 0,553 -0,00976

0,543.

er

Diese Werte k, sind nun mit den Eiffelschen Versuchen an kreisförmigen Platten (die fast keine Seitenreibung besitzen) unmittelbar vergleichbar. Sie sind in Fig. 9 eingetragen (unterhalb der schwarzen Punkte), aus der man kennt, daß diese Berichtigung, die an und für sich unbedeutend ist, die Uebereinstimmung mit Eiffels Versuchen noch verbessert. Man erkennt auch, daß es nur die Seitenreibung ist, die bei den Frankschen Versuchen das von Eiffel gefundene stetige Wachstum von k mit der absoluten Größe der Fläche verdeckt hat.

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nach Eiffel

Ganz unmöglich erscheint es jedoch mit Rücksicht auf alles bisher Erwähnte, besonders aber in Hinsicht auf die Frankschen Ergebnisse, daß der dreimal so lange Zylinder (III) einen um 28,2 vH kleineren Widerstand haben solle als Nr. I. Es ist gar nicht ersichtlich, welcher Ursache diese außerordentliche Verminderung des Widerstandes zuzuschreiben sein sollte. Wenn auch zugegeben werden kann, daß die Längenerstreckung des Zylinders von einigem Einfluß auf den Verdrängungsvorgang sein mag, so kann dieser Einfluß auf keinen Fall so groß sein. Dies würde auch den Frankschen Versuchen widersprechen, die für einen Zylinder von rd. zweifacher Länge des Durchmessers, also noch länger als Nr. III von Eiffel, vollständig normale und nach Abzug der Seitenreibung mit den Flächenkoeffizienten übereinstimmende Werte ergaben.

Eiffel sucht diese Verminderung des Widerstandes dadurch zu stützen, daß er aus den durch Schießversuche bekannten Widerstandskoeffizienten für Zylinder von der 2,5 fachen Länge des Durchmessers, die allerdings für sehr viel größere Geschwindigkeiten gelten, den Wert k 0,272 für 40 m/sk herleitet. Dieser durch Extrapolation gewonnene Wert ist aber ganz bestimmt unrichtig, wenn er für gerade abgeschnittene Zylinder, wie hier, gelten soll. Denn es kann gar keine Frage sein, daß für solche Zylinder die von Frank ermittelten Werte von rd. 0,57 die richtigen sind. Es erscheint überhaupt fraglich, ob von dem Gebiet der Schallgeschwindigkeit aus, wie sie Geschosse haben (300 m/sk und mehr), eine zuverlässige Extrapolation in das Gebiet von 40 m/sk möglich ist. In der Nähe der Schallgeschwindigkeit tritt bekanntlich eine fast plötzliche Zunahme des Widerstandskoeffizienten um ein Mehrfaches auf. Nach den Versuchen von Frank ist selbst für ganz spitze Doppelkegel (2 α = 20°) mit abgerundeten Uebergängen noch k 0,203. Man kann den Eiffelschen Wert Nr. III daher nicht als richtig anerkennen.

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8. Januar 1910.

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chen muß auf einer Seite ein Fehler vorliegen.

Leider lassen sich die Eiffelschen Werte nicht nachrechnen, weil die Falldiagramme gerade für diese Kegel (wie auch für den oben erwähnten Zylinder) nicht veröffentlicht sind. Im Anschluß an die kurz gehaltene Mitteilung über die Versuche mit den Kegeln und einer hohlen Halbkugel bemerkt jedoch Eiffel selbst: »Wir haben auch einige Versuche mit konvexen Schalen (coupes convexes) und mit Kugeln gemacht, aber ihre Ergebnisse erscheinen uns mit Rücksicht auf den hohen Betrag des Berichtigungsgliedes (herrührend von der Beschleunigung) zu zweifelhaft, um sie mitzuteilen.<«<

Ohne Zweifel besteht nun aber das gleiche Bedenken für die Kegel. Wie oben gezeigt, wird nämlich der Luftwiderstand als Summe der Federspannung (f) und des bei der beschleunigten Bewegung nicht aufgehobenen Teiles des Gewichtes von Versuchskörper und Aufhängung (ptλ) erhalten. Bei den meisten Versuchen ist nun dieses zweite Glied, dessen Bestimmung eine Unsicherheit in die Ergebnisse bringt, erheblich kleiner als das erste. Bei der Kreisplatte ist z. B. f = 3,35, pth 0,24, beim kurzen Zylinder f = 2,15, pt2 = 0,48. Dagegen ist beim Kegel a) f 0,29, p t 2 0,37, beim Kegel b) f = 0,33, p th 0,45. Während also für gewöhnlich das Berichtigungsglied der fünfte bis vierzehnte Teil des Hauptgliedes war, ist es bei dem Kegel sogar noch erheblich größer als das Hauptglied. Die Zuverlässigkeit der Ergebnisse ist dementsprechend gering.

=

Die Ursache kann aber auch in anderm liegen. Wenn nämlich, woran zu zweifeln kein Grund ist, die Frankschen Werte richtig sind, so würde bei den Eiffelschen Versuchen das Berichtigungsglied gar nicht die verhältnismäßige Größe erreichen können.

Bei den plattenförmigen Körpern ist nun von der ganzen Unsicherheit, die hier wie auch bei den Zylindern und Schalen auftritt, nichts zu bemerken. Es wurde aber schon früher erwähnt (S. 14), daß die unsymmetrische Anordnung

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der Versuchsgegenstände eine Verdrehung des ganzen Apparates während der Bewegung bedingt. Fig. 4 zeigt die verdrehenden Kräftepaare. Mit der daraus folgenden Schiefstellung ist auch eine solche der Trägerstange des Widerstandskörpers, die den Luftdruck auf die Federn überträgt, verbunden, s. Fig. 24. Ist nun der Versuchsgegenstand eine dünne Platte, so wirkt der Luftwiderstand normal zu ihrer Fläche, also in Richtung der Trägerstange, gleichgültig ob die Platte schief oder genau wagerecht steht. Hat dagegen der Versuchskörper eine erhebliche Ausdehnung in der Länge, wie die Zylinder und Kegel, so erhält er, wenn er schief steht, außer dem normalen Druck W noch einen Querdruck Wi seitens der Luft, und zwar um so mehr, je länger er ist.

Dieser Querdruck bewirkt aber Reaktionen in der Stangenführung, die der Verschiebung der Stange Reibungswiderstände entgegensetzen. Die Reibung nimmt einen Teil des Luftwiderstandes W auf. Nur der Rest gelangt zu den Meßfedern.

Wenn dies zutreffend ist, dann liegt für alle Gebilde von nicht plattenförmiger Gestalt (die übrigens bei Eiffel weit in der Minderzahl sind) ein grundsätzlicher Versuchsmangel vor.

Ob nun dies oder etwas andres die Ursache sein mag, auf keinen Fall kann man die Versuche mit den längeren Zylindern und den Kegeln als zuverlässig betrachten. Demgegenüber erhielt nun Frank für Körper nach Fig. 25 mit

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Diese Werte schließen sich bis auf denjenigen für 60° ganz nahe an die von Frank für Keile von gleichem Winkel gefundenen Werte an, so daß ein besonderer Einfluß der Spitze (im Gegensatz zur Schneide), wie ihn Eiffel auf Grund seiner Versuche mit Kegeln hervorhebt1), kaum festzustellen ist. 900

Uebrigens entstammen die Frankschen Werte für 2 c und 60° einer älteren Versuchsreihe, bei der die Aufhängung noch nicht so vollkommen war wie bei den neueren Versuchen mit 2 α = 20o.

Schafft man auch bei den Keilen den Reibungswiderstand der Flanken weg, so erhält man für 2 α 90°

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statt

60°

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41° 38'

0,266

0,281).

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mit F als Projektion der Fläche auf eine zur Bewegungsrichtung senkrechte Ebene. Wesentlich bei dieser Formel ist, daß k für eine und dieselbe Fläche (oder für den gleichen Körper) bei verschiedenen Geschwindigkeiten einen unveränderlichen Wert hat. Im übrigen ist dieser Wert hauptsächlich von der Gestalt der Stirnoberfläche abhängig, bei ebenen Flächen im besondern von ihrer Neigung gegen die Bewegungsrichtung.

Eiffel hat dieses Gesetz für Geschwindigkeiten zwischen 15 und 40 m/sk festgestellt, Frank für Geschwindigkeiten zwischen 01) und 6 m/sk.

Eiffel schließt zwar aus den Mittelwerten seiner Versuche mit normal stehenden ebenen Platten, daß bei einer Geschwindigkeit von rd. 33 m/sk kam kleinsten ist und von da ab sowohl bei steigender als bei fallender Geschwindigkeit wächst. Für 33 m/sk ergab sich im Mittel für alle Arten von Flächen Kmin 0,0732.8 0,5856, dagegen für rd. 19 m/sk (untere Grenze) k 0,0756 · 8 0,6048, für rd. 40 m/sk (obere Grenze) 0,074 · 8 0,592. Diese Unterschiede sind so gering, daß sie wohl für alle praktischen Zwecke außer acht bleiben können, um so mehr, als sie nur für normal stehende Flächen Geltung haben.

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Nimmt man übrigens diese Gesetzmäßigkeit als zutreffend an, so wird die Uebereinstimmung der Frankschen Werte für normal stehende ebene Flächen mit den Eiffelschen Werten, Fig. 11, noch besser. Denn die Frankschen Koeffizienten müssen in Fig. 11, da sie bei rd. 3 m/sk ermittelt sind, etwas größer erscheinen, als wenn sie (für dieselbe Größe der Fläche) bei der Gesshwindigkeit von rd. 27 m/sk, wie bei Eiffel, ermittelt wären. Die betreffenden Punkte würden, wenn man sie daraufhin berichtigte, noch etwas tiefer rücken. Von einer zahlenmäßigen Ausführung dieser Berichtigung kann indessen, weil sie unerheblich ist, abgesehen werden.

Für das Bestehen der Eiffelschen Gesetzmäßigkeit läßt sich übrigens folgendes anführen. Bei den kleinen Geschwindigkeiten fängt der Zähigkeitswiderstand der verdrängten Luft an, den Wirbelwiderstand (z. B. bei der Flächenreibung) zu übertreffen, wie dies auch von den Rohrleitungen bekannt ist. Von dem Gebiet der Schallgeschwindigkeit ist anderseits bekannt, daß dort der Widerstandskoeffizient sehr viel größer ist, oder, anders ausgedrückt, mit einer höheren als der zweiten Potenz der Geschwindigkeit wächst. Beide Einflüsse werden sich allmählich mehr und mehr geltend machen, der eine gegen unten, der andre gegen oben, wodurch die von Eiffel gefundene Veränderlichkeit von k entsteht.

Man kann aber als feststehend annehmen, daß die Abweichungen vom quadratischen Gesetz bis

1) Es kann für praktische Zwecke dahingestellt bleiben, ob für ganz kleine Geschwindigkeiten, etwa unter 1 m/sk, mit Rücksicht auf die dann denkbare Vermeidung von Wirbeln (ähnlich wie bei Rohrleitungen) eine andre Gesetzmäßigkeit in Kraft tritt.

deutscher Ingenieure.

40 m/sk und wohl noch erheblich darüber, d. h. für alle flugtechnischen Geschwindigkeiten, so geringfügig sind, daß sie völlig unberücksichtigt bleiben können.

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Die wesentlichen Ursachen des Luftwiderstandes.

Wenn ein beliebiger Körper, Fig. 28 und 29, in gerader Linie mit c m/sk Geschwindigkeit durch die ruhende Luft fortschreitet, so verdrängt er in jeder Sekunde eine Luftmenge von Fc cbm; F ist hierin die Fläche seiner Projektion auf eine zur Bewegungsrichtung senkrechte Ebene. Diese Luftwasse muß also in der Zeiteinheit in Bewegung gesetzt und aus dem Bahnraume des Körpers in den Raum außerhalb gedrängt werden. Der gesamte Bewegungswiderstand dieser Luft wird durch Kräfte überwunden, die von der Oberfläche des Körpers auf die Luft ausgeübt werden. Ist der Körper symmetrisch zur Bewegungsrichtung, so ist die Resultante dieser Kräfte eine in die Bewegungsrichtung fallende Einzelkraft. Diese Kraft oder ihre Gegenkraft bezeichnet man als den Luftwiderstand des Körpers.

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Ist der Körper unsymmetrisch, so fällt auch die Resultierende der Oberflächenkräfte nicht in die Bewegungsrichtung. Im allgemeinsten Falle lassen sich die Kraftwirkungen auf eine Einzelkraft und ein verdrehendes Kräftepaar zurückführen. In dem einfachen Falle, Fig. 30 und 31, der im folgenden als Grundfall auftritt, ist der resultierende Oberflächendruck eine normal oder (mit Rücksicht auf die Flächenreibung) schräg zur Oberfläche wirkende Kraft P. Der Luftwiderstand W ist die in die Bewegungsrichtung fallende Komponente von P. Die andre, dazu senkrechte Komponente, die keinen Arbeitsaufwand bedingt, hat man sich durch äußere Kräfte, sei es in festen Führungen oder durch das Eigengewicht oder sonstwie, aufgenommen zu denken.

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S. Januar 1910

Die zweite Ursache ist der Reibungswiderstand, den die über die Stirnfläche und die Seitenflächen (bei der Platte über die Vorderfläche und zum Teil auch über die Rückfläche) abfließende Luft an diesen Flächen findet. Diese »äußere Reibung« ist nach dem Frankschen Flächenreibungsgesetz zu beurteilen.

WO

Eine dritte wesentliche Ursache ist folgende. Die zu verdrängenden Luftmengen müssen sich nicht allein an den Oberflächen des Körpers, sondern auch aneinander vorbeischieben. Dies ist zunächst der Fall an den Stellen, neue Luftmengen von der Bewegung erfaßt werden und an der noch ruhenden Luft vorübergleiten. Aber auch sonst werden innerhalb der Luftmasse Geschwindigkeitsunterschiede auftreten. Dabei ist der Zähigkeitswiderstand der Luft zu überwinden, oder es tritt bei größeren Relativgeschwindigkeiten Wirbelbewegung auf, die mit Arbeitsverlusten verbunden ist. Endlich muß die aus dem Bahnraum austretende Luft die außerhalb befindliche ruhende Luft zur Seite drängen. Sie ist zum Teil ohne besondern Arbeitsaufwand dazu imstande, vermöge der Geschwindigkeit, die sie aus dem Bahnraum mitbringt. Es ist aber fraglich, ob die letztere für den Zweck genügt, besonders in den Fällen, wo sie klein ist (wie bei schwach geneigten Flächen). Alle diese Widerstände der dritten Gruppe mögen als Widerstand der »inneren Reibung« zusammengefaßt werden.

Der Gesamtwiderstand W in der Bewegungsrichtung ist die Summe der drei Widerstände W1, W2, W3, die nacheinander von der Beschleunigung, der äußeren und der inneren Reibung der verdrängten Luftmassen herrühren.

Die Versuche über den Luftwiderstand geben unmittelbar nur über die Summe der Widerstände Aufschluß. Aufgabe des Folgenden wird es sein, in den Versuchsergebnissen von Eiffel und Frank die Einzelwiderstände zu bestimmen. Erst wenn diese zahlenmäßig bekannt sind, ist es möglich, über ihre Bedeutung zu entscheiden und dadurch zu einer genaueren Erkenntnis des Luftwiderstandes zu gelangen. Die rein theoretische Vorausbestimmung des Luftwiderstandes ohne erfahrungsmäßige Unterlagen, wie sie vielfach versucht worden ist, kann zu keinem mit den Tatsachen übereinstimmenden Ergebnis führen. Die Vorgänge sind dazu viel zu verwickelt. Man hat es hier weder mit reibungs- noch mit wirbelfreien Strömungen zu tun. Der Luftwiderstand kann auch keineswegs als Umkehrung des Strömungsdruckes isolierter, sei es freier oder in Kanälen geführter Strahlen behandelt werden.

Für den vorliegenden Zweck kommen nur die Versuche mit ebenen Platten und symmetrischen Winkelflächen in Frage.

Die Richtung der Oberflächenkräfte. Eine reibungsfreie Oberfläche kann auf einen andern Körper, mit dem sie in Berührung kommt, nur normal gerichtete Drücke ausüben oder von seiten dieser Körper aufnehmen. Keine materielle Oberfläche ist indessen frei von Unebenheiten, vermöge deren sie stets auch tangential gerichtete Kräfte übertragen kann. Man hat bisher angenommen, daß diese tangentialen Reibungskräfte bei den für den Luftwiderstand praktisch in Frage kommenden Flächen und Geschwindigkeiten so gering seien, daß man sie gänzlich vernachlässigen

könne. Eiffel bemerkt hierüber1): »Tatsächlich könnten tangentiale Kräfte, auch wenn sich solche betätigen wollten, keinen Angriffspunkt auf der glatten Oberfläche der Platten finden und wären nicht imstande, irgend welche Wirkung auf sie auszuüben«; und weiter 2): »Die Tatsache, daß ein Luftstrom, der eine Oberfläche in schiefer Richtung trifft, auf diese niemals einen andern als normalen Druck ausüben kann, ist von Dines und Langley experimentell bekräftigt worden. Sie ist übrigens in Uebereinstimmung mit der Theorie der vollkommenen Flüssigkeiten, in deren Innerem nur normal zu den Wänden gerichtete Kräfte entstehen können. << Diese Worte geben der heute in flugtechnischen Kreisen vorherrschenden Anschauung Ausdruck.

Wenn man indessen in Betracht zieht, einen wie außerordentlichen Einfluß die gleichen tangentialen Kräfte, die hier geleugnet werden, in den Rohrleitungen und in den Düsen und Kanälen der Dampfturbinen und der Gebläse auf den Strömungsvorgang haben, so erscheint es sehr auffallend, daß bei der Bewegung von Flächen durch die Luft parallel zu ihrer Richtung dieser Einfluß ganz verschwinden solle, obwohl doch die physikalischen Erscheinungen an der Oberfläche die gleichen sind.

Man wird vielmehr auf Grund dieser bekannten Erfahrungen aussprechen können, daß die oben wiedergegebene Anschauung grundsätzlich nicht zutreffend sein kann. Trotzdem könnte sie praktisch zu Recht bestehen; aber daß die Reibung an der Oberfläche in gewissen Fällen tatsächlich eine verschwindend kleine Rolle spielt, ist noch kein Grund dafür, daß sie dies in allen Fällen tun muß. Auf Grund des Frankschen Reibungsgesetzes habe ich schon auf S. 55 gezeigt, daß es praktische Fälle geben kann, wo die Reibung sogar der ausschlaggebende Teil des Widerstandes ist.

Wir gehen daher von der Tatsache aus, daß es einen merkbaren und aus der Relativgeschwindigkeit der Luft

gegenüber der Fläche berechenbaren Reibungswiderstand gibt. Die Fälle, wo dieser eine untergeordnete er oder gar keine, und wo eine Rolle hervorragende spielt, werden sich dann von selbst ergeben.

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Eine ebene, gegen die Bewegungsrichtung geneigte Fläche kann demgemäß außer einem Normaldruck N auch eine Tangentialkraft R, Fig. 32, auf die Luft, durch die sie sich bewegt, ausüben. Der resultierende Druck P der Fläche auf die Luft (oder der Luft auf die Fläche) erhält also eine unter einem gewissen Winkel gegen die Normale verlaufende Richtung. Der Bewegungswiderstand hat den Wert (s. die spätere Fig. 37) W - N sin a + R cos a

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Neuere Fortschritte in der Zement-, Kalk-, Phosphat- und Kaliindustrie.')

Von Zivilingenieur C. Naske in Berlin.

(Fortsetzung von S. 12)

Es ist beachtenswert, daß, während deutsche Konstrukteure ihr Hauptaugenmerk auf die Vervollkommnung der langsamlaufenden Hartmühlen richteten, ihre ameri

1) Sonderabdrücke dieses Aufsatzes werden abgegeben. Der Preis wird mit der Veröffentlichung des Schlusses bekannt gemacht werden.

kanischen Fachgenossen nicht nur die älteren Formen der Schnelläufer in wesentlichen Teilen verbesserten, sondern auch vollständig neue Bauarten derart in Wettbewerb treten ließen, daß gegenwärtig ein ganz erheblicher Teil des europäischen Marktes von Mahlgeräten überseeischer Herkunft beherrscht wird. Die grundlegende Ursache dieses Erfolges

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