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1. Januar 1910.

dern, geschweige daß es eine mechanisch wohl begründete und mit den Versuchen übereinstimmende Theorie des Luftwiderstandes gäbe.

Durch die neuere Entwicklung der Luftschiffahrt ist die praktische Bedeutung dieser Frage erheblich gewachsen; wird doch die Antriebarbeit der lenkbaren Luftfahrzeuge in erster Linie durch den Luftwiderstand bedingt. Bei denjenigen Fahrzeugen, die ohne Ballon fliegen sollen, muß der Luftwiderstand außerdem das Mittel zur Hebung von Maschinengewicht und Nutzlast bieten, und eine ähnliche, sehr bedeutungsvolle Rolle spielt der Luftwiderstand bei den Höhensteuern der neuesten Ballon-Luftschiffe.

In den letzten Jahren sind zwei Versuchsreihen bekannt geworden, die von vornherein das größte Vertrauen verdienen, nämlich die Versuche von G. Eiffel, dem Erbauer des Eiffel-Turmes, die von 1903 bis 1905 ausgeführt und 1907 in einem besondern, prächtig ausgestatteten Werk1) veröffentlicht wurden; zweitens die Versuche von Prof. A. Frank in Hannover, die in dieser Zeitschrift 1906 S. 593 und 1908 S. 1522 mitgeteilt sind.

Eiffel ließ Platten mit Oberflächen bis 1 qm aus 115 m Höhe einem senkrechten Drahtseil entlang vom Eiffelturm frei herabfallen; Frank führte seine Versuche mit Körpern von 1/100 bis 3/100 qm Stirnfläche durch, die an einem 13 m langen Pendel unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes Schwingungen ausführten. Bei dieser großen Verschiedenheit sowohl in der ganzen Versuchsanordnung als auch in der Größe der verwendeten Oberflächen und der Geschwindigkeiten dürfte es ein erhebliches Interesse, bieten und für die Erkenntnis der Vorgänge von Nutzen sein, beide Versuchsreihen einem eingehenden kritischen Vergleich zu unterziehen. Dieser Vergleich und die daraus zu ziehende Nutzanwendung für die Berechnung der Luftwiderstände ebener Platten ist die Aufgabe der vorliegenden Arbeit.

Von ganz besonderm Interesse und für die Erkenntnis vom Wesen des Luftwiderstandes von ausschlaggebender Bedeutung sind die Frankschen Versuche aus 1908, die den Reibungswiderstand der Luft an den zur Bewegungsrichtung parallelen Flächen betreffen. Es liegt nahe, die Ergebnisse dieser Versuche zu vergleichen mit dem, was über die Strömungswiderstände von Gasen und Dämpfen in Rohrleitungen bekannt ist. Sichere Unterlagen nach

Der Grundgedanke dieser Versuche besteht darin, daß der Körper A (meist eine ebene Platte), Fig. 1, dessen Luftwiderstand gemessen werden soll, mit einem andern, schwereren Körper von verhältnismäßig nicht zu großem Luftwiderstand verbunden wird. Beim gemeinsamen freien Fall bewegt sich die ganze Masse im Anfang fast mit der natürlichen Beschleunigung der Schwere (g

9,81 m/sk2). Selbst in tieferen Lagen, bei erheblicher Geschwindigkeit, vermochte der Luftwiderstand W, der gemessen werden sollte, im Verein mit demjenigen des übrigen Körpers die Fallbewegung innerhalb des verfügbaren Fallraumes von 95 m nicht erheblich zu verzögern. Am Ende des Fallweges betrug die Fallgeschwindigkeit fast stets gegen 40 m/sk, während dem Fall im luftleeren Raum 1/2 · 9,81 · 95 43,3 m/sk entsprechen würden.

Fig. 1.

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Der Widerstand W konnte auf dem größten Teil der Fallstrecke bei Geschwindigkeiten von 15 bis 40 m/sk in folgender Weise gemessen werden. Aus dem Schema Fig. 1 ist ersichtlich, daß der Widerstandskörper A am Ende einer gerade geführten lotrechten Stange befestigt ist. Die Stange trägt am oberen Ende zwei geeichte Spiralfedern (je nach der Größe der Platten A von verschiedener Stärke), die durch den Luftwiderstand auf Zug in Anspruch genommen und gedehnt werden. Ihre elastische Verlängerung f wird mittels eines fest mit ihnen verbundenen Schreibstiftes (S) in wahrer Größe auf eine rotierende Trommel T aufgezeichnet, die mit berußtem Papier bespannt ist. Aus f läßt sich in gewisser Weise (s. unten) W berechnen.

Der zu einer bestimmten Durchbiegung f gehörige Fallweg und die Fallzeit werden auf der Trommel durch den gleichen Stift verzeichnet: der Weg dadurch, daß die Trommel mittels einer Schneckenradübersetzung s von einem Rädchen aus angetrieben wird, das sich beim Fall auf dem Kabel abrollt (das Rädchen wird durch eine starke Feder an das Fig. 2.

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dieser Richtung bieten die bekannten Versuche des Bayerischen Dampfkessel-Revisionsvereines und diejenigen von Fritzsche an der Dresdener Technischen Hochschule.

Hinsichtlich der Anordnung, Durchführung und Berechnung der Frankschen Versuche kann auf diese Zeitschrift verwiesen werden. Dagegen ist es, um sich ein Urteil über die Eiffelschen Ergebnisse bilden zu können, unumgänglich, das Wesentliche der Versuchseinrichtungen Eiffels zu kennen).

1) Recherches expérimentales sur la résistance de l'air, exécutées à la tour Eiffel, par G. Eiffel, Paris 1907; vergl. auch Z. 1908 S. 463, 1039. 2) Bezüglich der weiteren Einzelheiten muß ich auf das Eiffelsche

Werk verweisen.

Kabel angedrückt); die Fallzeit [dadurch, daß der Schreibstift an dem einen Zinken einer Stimmgabel befestigt ist, deren Schwingungszeit 1/100 sk beträgt. Auf dem berußten Papier wird so während des Falles eine schraubenförmig ansteigende Linie verzeichnet, die in der Abwicklung wie Fig. 2 aussieht. Die Abszissen ergeben die Fallwege, die Ordinaten die Federdurchbiegungen, die Zahl der Wellen die Fallzeit. Die augenblickliche Fallgeschwindigkeit kann einfach als Mittelwert aus der Zahl der Wellen, die in einer kurzen Strecke um den betreffenden Punkt herum enthalten sind, bestimmt werden. Der Luftwiderstand ergibt sich nun wie folgt. Für den beweglichen Teil vom Gewichte G allein gilt nach Fig. 3 gemäß dem Beschleunigungsgesetz:

Fig. 3.

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Der Luftwiderstand W ist also nicht mit der Federspannung identisch, sondern stets größer als diese, da immer p<g ist. Dies rührt daher, daß der Luftwider'stand nicht nur die Federn zu spannen, sondern auch denjenigen Teil des Gewichtes G zu heben hat, der durch die Massenbeschleunigung nicht aufgebraucht wird. Dies ist eben der

Betrag G (1-2). Dieses Glied stellt für die Versuche eine

umständlich zu ermittelnde Berichtigung dar.

Um seinen Wert zu erhalten, muß nämlich die Beschleunigung der Fallbewegung ermittelt werden. Man könnte zu diesem Zweck das Diagramm der Geschwindigkeiten und zugehörigen Zeiten benutzen, in dem bekanntlich die Neigung der Kurventangente der Beschleunigung entspricht

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deutscher Ingenieure.

letztere Fall ist sowohl für die Luftschiffahrt als auch für das Gesetz des Widerstandes als solches von größtem Inter

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-355

dar, worin F die Projektion der verdrängenden Oberfläche auf eine zur Bewegungsrichtung senkrechte Ebene, c die Geschwindigkeit in der Bewegungs

Fig. 6.

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Zu diesem Zweck ersetzt Eiffel die wirkliche ZeitWegkurve durch eine angenäherte Kurve mit der Gleichung h = 11⁄2 gt2 - at3-bt1.

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2

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λ

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gleichung mit erheblicher Genauigkeit zutraf. Zur Prüfung dieses Umstandes wurde ein graphisches Verfahren verwendet, dessen Erläuterung hier zu weit führen würde.

Fig. 4 zeigt die Gesamtanordnung im Schema. Jeder Kegel enthält eine gesonderte Meßvorrichtung. Die Versuche wurden fast ausnahmslos mit nur einem Widerstandskörper A ausgeführt, um gegenseitige Beeinflussungen zu verhindern. Das durch diese einseitige Anordnung entstehende Kippmoment muß indessen zu Querdrücken auf das Kabel geführt haben, deren ungleichmäßiger, verzögernder Einfluß (infolge der Reibung in den Führungen BB) in manchen Versuchsergebnissen deutlich erkennbar ist. Die Blattfedern F sind zur Bremsung am Ende des Fallweges bestimmt; ihre Enden enthalten die Kabelführungen.

Die Körper, deren Widerstand ermittelt wurde, bestanden zum größten Teil aus ebenen Platten von quadratischer, rechteckiger und kreisförmiger Gestalt (die Rechtecke in den Verhältnissen von Fig. 5). Sie wurden entweder nach Fig. 6 senkrecht zur Fallrichtung oder nach Fig. 7 schief dazu, unter dem Neigungswinkel a gegen die Lotrechte, angeordnet. Im letzteren Falle waren immer zwei Flächen nötig, um Querdrücke von der Führungsstange fern zu halten. Die geneigten Flächen wurden entweder mit einer Kante zusammenstoßend, Fig. 7 (Winkel- oder Keilstück), oder wie in Fig. 8 mit einem größeren Zwischenraum verwendet. Der

richtung und K eine Konstante ist, die aus dem Versuch zu ermitteln ist.

Für eine und dieselbe Fläche wurde K bei Geschwindigkeiten von 15 bis 40 m/sk in allen Fällen so gut wie unveränderlich gefunden, womit die Abhängigkeit des Luftwiderstandes vom Quadrat der Geschwindigkeit in dem untersuchten Gebiete bewiesen ist. (Ueber eine geringe Abweichung vergl. weiter unten.) Den gleichen Beweis hat Frank für die Geschwindigkeiten bis zu 6 m/sk erbracht, so daß man das Gesetz von kleinen Geschwindigkeiten bis zu solchen von 40 m/sk als experimentell sehr gut begründet ansehen kann. Frank stellt seine Versuche durch die Formel γ W k F C2 g

dar, worin F und c die gleiche Bedeutung wie oben haben und das Gewicht von 1 cbm Luft im jeweiligen Zustand ist. Die Eiffelschen Konstanten beziehen sich auf Luft von 15° C und 760 mm Druck. Dafür ist

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1. Januar 1910

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stellbar verbunden.

also

Untersucht wurden die Winkel

2 α 56° α 280

95° 471/20

140o,

70°.

In Fig. 10 sind die Winkel a (also die halben Flächenwinkel) als Abszissen, die auf die Flächenprojektion F be

großen Flächen nicht so verschieden sind, daß man nicht, wo es erwünscht erscheint, mit einem Mittelwert rechnen könnte. Es ist ausschließlich den Eiffelschen Versuchen zu verdanken und widerlegt in unanfechtbarer Weise gewisse gegenteilige Anschauungen (als ob der spezifische Widerstand um so kleiner sei, je größer die Fläche).

Die Frankschen Werte für sehr kleine Flächen bestätigen dieses Gesetz, insofern sie merkbar kleiner sind als die Eiffelschen für größere Flächen. Eine später anzubringende Be- 0,40 richtigung macht die Uebereinstimmung auch zahlenmäßig zu einer fast vollkommenen, indem die Frankschen Werte, besonders beim Kreis, fast genau in die Verlängerung von Eiffels 0,30 Kurven fallen.

Die Gestalt der Fläche (ob Kreis, Quadrat usw.) ist ebenfalls von Einfluß auf den spezifischen Widerstand, der 0,20 beim Kreis am kleinsten, beim langen Rechteck am größten ist.

zogenen Widerstandskoeffizienten als Ordinaten aufgetragen. Der Wert bei α = 90° ist der frühere für die quadratische Platte von 18 qm.

Versuche mit seitlich und oben geschlossenen Winkelstücken (Keilstücken) ergaben nur sehr geringe Unterschiede.

In die gleiche Figur sind auch die Frankschen Werte für keilförmig zugeschärfte Prismen eingetragen. Wie man sieht, stimmen die Werte in Anbetracht der sehr verschiedenen Größe der Flächen gut überein. Die Frankschen Werte ergänzen außerdem die Eiffelschen nach dem Gebiet der kleineren Winkel zu.

Geneigte Einzelflächen (Fig. 8).

Diese Flächen bestanden aus quadratischen Platten von 0,5 m Seitenlänge, also 1/4 qm Fläche. In Fig. 11 sind die Versuchsergebnisse in gleicher Weise wie für die Winkelflächen aufgetragen (höchste Kurve). Zum Vergleich sind auch die letzteren aufgenommen (tiefste Kurve). Der überaus große Unterschied zwischen den Einzelflächen und den Winkelflächen bei gleichem Winkel (a) gegen die Bewegungsrichtung fällt ins Auge. Man hätte Grund,

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Winkel- und Keilflächen.

Die Seitenflächen der Winkel, Fig. 7, waren bei Eiffel quadratisch, von 357 mm Seitenlänge, also je rd. s qm Inhalt. Sie waren an der gemeinsamen Kante gelenkartig, ver

& Winkel der Platte mit der Bewegungsrichtung

zu erwarten, daß beide Werte wenigstens annähernd von gleicher Größe wären. Der spezifische Widerstand (bezogen auf die Projektion) ist z. B. bei a 30° für die Einzelfläche 1,67 mal so groß wie für die Winkelfläche. Bei der Fläche erreicht der Widerstand den höchsten Wert (nämlich den der normal gerichteten Fläche, & = 90°) schon bei « - 30°, während er bei den Winkelstücken von 30° aufwärts bis 90° noch um 67 vH seines Wertes zunimmt. Nirgends sind die beiden Widerstände auch nur annähernd von gleicher Größe.

Für die Flächen hat Eiffel das Ergebnis dahin zusammengefaßt, daß der Widerstandskoeffizient von 0° bis 30° Neigung gegen die Bewegungsrichtung proportional mit dem Winkel bis zum Höchstwert anwächst und von da an bis 90° unverändert bleibt, wie dies aus Fig. 11 hervorgeht. Für den großen Unterschied zwischen Flächen und Winkeln gibt Eiffel eine einleuchtende Erklärung, auf die ich später zurückkommen werde.

Indessen erhebt sich ein Bedenken andrer Art gegen die von Eiffel aus seinen Versuchen mit den Flächen abgeleiteten Koeffizienten. Um die Befestigung der Platten an der Meßstange sicher und starr zu machen, waren eine Anzahl Konstruktionsglieder, bestehend aus Blechplatten von 4 bis 5 mm Stärke, erforderlich. Fig. 12 und 13 zeigen die Konstruktion

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deutscher Ingenieure.

Die Flächen (a, b, c usw., Fig. 12 und 13), welche den schädlichen Luftwiderstand ergeben, bestehen aus langen schmalen Rechtecken, für die nach Frank (in Uebereinstimmung mit Eiffel) k = 0,575 gesetzt werden kann. Wenn nun die ganze Stoßfläche bekannt ist, so kann auch ihr Einfluß auf das Endergebnis leicht rechnungsmäßig bestimmt werden. Nach Fig. 12 und 13 berechnet sich die Summe der Stoßflächen a,b,c (einschließlich der Schrauben- und Nietköpfe) auf einer Hälfte, also für eine Platte, zu 101,5 qcm. (Die Blechdicken sind aus der Eiffelschen Zeichnung zu 5 bezw. 4 mm abgemessen). Dazu kommen nun bei den steileren Lagen Teile der Kanten d und die Projektion der unteren Plattenkanten selbst, die letzteren beiden Flächen mit etwas kleineren Koeffizienten als 0,575.

Bezeichnet man mit k' den (zu ermittelnden) Widerstandskoeffizienten der Platte allein, so gilt mit Fo als Oberfläche der Platte

WV'k' Fo sin α c2 (Nutzwiderstand).

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Der ganze (gemessene) Widerstand W entspricht der Summe W'+W". Setzt man

W = k FL c2

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Fo sin a

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Fo sin a

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nach den Angaben des Eiffelschen Werkes. Der Luftwiderstand dieser Teile, der ebenfalls auf die Meßfedern übertragen wird, ist von Eiffel bei der Berechnung der Widerstandskoeffizienten der schrägen Flächen nicht berücksichtigt worden. Die Federspannungen der Diagramme sind unverändert in die Zahlentafeln der Koeffizientenberechnung eingeführt, wie ein Vergleich der Zahlen ergibt. Nirgends in dem Eiffelschen Werke konnte ich eine Andeutung über diesen Widerstand finden.

In der Tat ist sein Einfluß nicht erheblich, solange die Platte noch wenig von der normalen Richtung abweicht. Denn in diesem Falle wird erstens ein großer Teil der Verbindungsglieder durch die Platten selbst verdeckt, und anderseits ist der Plattenwiderstand wegen der großen Flächenprojektion so bedeutend, daß der noch übrig bleibende schädliche Widerstand dagegen klein ausfällt.

Ganz anders wird dies bei stärkerer Neigung der Flächen. Die Verbindungsteile werden bloßgelegt, beteiligen sich also mit größeren Beträgen am Luftwiderstand; aber ihr verhältnismäßiger Einfluß wird auch darum viel bedeutender, weil sowohl die Flächenprojektion der Platten als auch der auf sie bezogene Widerstandskoeffizient der Platten viel kleiner wird.

Nun ist nach Eiffel

daher

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54. Nr. 1

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beträgt die Plattenprojektion nur 0,25 0,1736 0,0434 qm, während die Stoßflächen 0,015 qm groß sind. Die letzteren haben aber den höchsten Widerstandskoeffizienten 0,575, die ersteren dagegen einen kleineren, jedenfalls erheblich weniger als 0,19, schätzungsweise 0,15. Der nutzbare und der schädliche Widerstand stehen also etwa im Verhältnis von 0,0434 0,15 zu 0,015·0,575 oder von 0,0065 zu 0,0086 (gleich 1: 1,3). Der schädliche Widerstand ist allein größer als der Plattenwiderstand, den man ermitteln will. Daß unter solchen Umständen, wenn man noch die unvermeidlichen Versuchsfehler dazurechnet, das Ergebnis nicht mehr zuverlässig werden kann, ist begreiflich. Dieser Versuch muß daher gänzlich ausscheiden.

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Die in dieser Weise berichtigten Werte k' des Plattenwiderstandes sind nun ebenfalls in Fig. 11 eingetragen (zweite Kurve von oben). Zwischen 30° und 90° tritt an die Stelle des wellenförmigen Verlaufes eine stetig ansteigende, fast gerade Linie. Von der Strecke zwischen 0° und 30° bleibt leider nur das Stück zwischen 20° und 30° übrig. Der Punkt für 20° fällt nahe an den Frankschen Wert für das Keilstück mit dem gleichen Winkel. Das für die Tragflächen der Flugmaschinen äußerst wichtige Stück zwischen 0o und 20° fällt ganz aus.

Sämtliche von Eiffel errechneten Widerstands werte sind zu groß, in dem Gebiet der Winkel unterhalb 30° um recht erhebliche Beträge.

Die Sätze von Eiffel über die Proportionalität mit dem Winkel zwischen 0° und 30° und über das Gebiet zwischen 30o und 90° werden hinfällig. Bestehen bleibt dagegen die Tatsache, daß der Widerstand bis 30° sehr rasch, von da ab viel langsamer ansteigt.

Vergleich des Widerstandes geneigter Platten mit dem der Winkelstücke.

الارها

F

man

Wenn neben einer einfachen schrägen Platte, Fig. 14, eine zweite symmetrisch zur Bewegungsrichtung anbringt, Fig. 15, so kann man erwarten, daß der Gesamtwiderstand verdoppelt wird, während der spezifische Widerstand gleich bleibt. Nach den Versuchen gilt dies jedoch nur solange, als der kürzeste AbFig. 14 und 15. stand der Kanten hinreichend groß ist. Verschwindet dieser Abstand ganz, wie bei Fig. 15 (gestrichelt), so wird nach den Versuchen der Gesamtwiderstand weniger als doppelt so groß, der spezifische Widerstand also kleiner als bei der einfachen Platte. Beide Platten beeinflussen sich demnach gegenseitig im Sinne einer Herabsetzung des Widerstandes. Nach Fig. 11 ist dieser Einfluß am größten und sehr erheblich in dem Gebiet zwischen a 25° und 60°. Bei 90° verschwindet er naturgemäß, da in beiden Fällen dann eine normale Ebene vorliegt. Bei 20° wird er ebenfalls klein, und es ist sehr wahrscheinlich, daß dies für das ganze Gebiet zwischen 20° und 0° gilt.

Der fast plötzliche Umschlag im Widerstandsgesetz bei 30o Plattenwinkel in Verbindung mit dem letzteren Umstand läßt es als wahrscheinlich erscheinen, daß durch die bis 30° steil ansteigende Kurve das Widerstandsgesetz der einfachen Platte rein zum Ausdruck gelangt, während es von da ab durch eine ähnliche Ursache abgeändert wird wie bei den Winkelstücken schon von 20° ab.

Welches diese Ursache sein wird, erkennt man, wenn

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Fig. 17.

nicht möglich. Eine relative Gleitbewegung parallel zur Fläche kann hier nicht eintreten. Das Strömungsbild erhält vielmehr den Charakter der Figur 17. Unmittelbar über der Fläche bildet sich eine in relativer Ruhe oder richtiger in unregelmäßiger wirbelnder Bewegung befindliche Luftmasse, die von der Platte in der Bewegungsrichtung mitgeführt wird. Ueber die (wohl nicht scharf begrenzte) Oberfläche dieser Luftmasse (Stauhügel, Bug) strömt die Luft in krummen Bahnen relativ nach außen. Im Endergebnis gleicht dieser Vorgang demjenigen bei einem Winkel- oder Keilstück, wie Eiffel sagt: . . . »la proue d'air immobile, qui se forme audevant d'un plan normal et équivaut jusqu'à un certain point à une proue solide«<.

Ein solcher Lufthügel bildet sich nun sicher nicht erst bei 90°, sondern in geringerem Maße auch schon bei kleineren Winkeln. Bei 30° scheint er aber fast plötzlich zu verschwinden, wie die scharfe Wendung in der Widerstandskurve der Platte andeutet. Von da an abwärts ist der Verdrängungsvorgang offenbar nur durch den Richtungswinkel der Fläche selbst bedingt.

Neigt man umgekehrt eine Fläche, die ursprünglich der Bewegungsrichtung parallel läuft, mehr und mehr, so ist die Zunahme des Luftwiderstandes zunächst nur von derjenigen

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