1. Die Vorgänge an den Druckstellen.

Die Frage nach der zulässigen Belastung der Kugeln birgt eine ganze Reihe von Aufgaben.

Aus der Erwägung, dass für das Verhalten der Kugeln und Laufringe die Vorgänge an den Druckstellen wesentlich sind, ergiebt sich als erste Aufgabe, diese in ihrer Abhängigkeit von der Belastung darzustellen.

Hertz hat in seiner in der neueren technischen Litteratur mehrfach angezogenen Arbeit » Ueber die Berührung elastischer Körper 2) den allgemeinen Fall untersucht, dass die beiden gegen einander gepressten Körper beliebig gestaltet sind. Die Gültigkeit seiner Entwicklungen ist aber an folgende Voraussetzungen gebunden:

1) Die Körper dürfen sich nur in kleinen Teilen ihrer Oberflächen berühren;

2) es dürfen nur Kräfte normal zur Oberfläche zwischen den sich berührenden Teilen wirken, was erreicht wäre, wenn, wie Hertz sich ausdrückt, die sich berührenden Oberflächen vollkommen glatt wären;

3) die Materialien müssen Proportionalitätsgrenzen besitzen, und es dürfen die den Proportionalitätsgrenzen entsprechenden Dehnungen nicht überschritten werden; 4) die Körper müssen homogen sein.

Hr. A. Riebe, der sich als Ingenieur der Deutschen Waffenand Munitionsfabriken, Berlin, erfolgreich der Konstruktion von Kugellagern gewidmet hat, hat bei der Ausführung dieser Versuche mit grofser Hingabe und viel Geschick mitgewirkt.

Gesammelte Werke von Heinrich Hertz, Bd. I S. 155 u. f. und

S. 174 u. f.

Für den hier vorwiegend inbetracht gezogenen Fall zweier Kugeln von den Halbmessern ri und r, deren Dehnungskoëffizienten gleich sind, und für welche das Verhältnis von Längsdehnung zu Querdehnung m = 10/3 gesetzt werden darf, ist nach Hertz 6 2

1) die Strecke um welche sich die Körper normal zur Druckfläche unter der Belastung P einander nähern, oder die Annäherung (Zusammendrückung) der Körper

3

1,23 | P2 «2 71 + ra

2) der Halbmesser der Druckfläche

a

= 1,11]

Ρα

(1);

(2);

Um die Uebereinstimmung seiner Folgerungen mit der Erfahrung darzulegen, führte Hertz einige Versuche mit Glas durch. So zeigte er, dass die Durchmesser der Druckflächen wie die dritten Wurzeln aus den Drücken wachsen, indem er eine Glaslinse gegen eine ebene Platte aus gleichem Glase drückte. Um die Abhängigkeit von den Dehnungskoëffizienten zu prüfen, presste er eine Stahllinse gegen ebene Flächen verschiedener Metalle. Da er dabei Schwierigkeiten in der Beobachtung fand, verzichtete er auf den Nachweis durch den Versuch.

Später fand Auerbach1), indem er ebenfalls Linsen gegen ebene Platten drückte und die Druckflächen ausmafs, für 3 Glassorten und einen Bergkristall sowohl die schon von

1) Wiedemanns Annalen. Neue Folge 43, S. 61 u. f. 1891.

d'

Hertz geprüfte Abhängigkeit des Durchmessers der Druckfläche von der Belastung, als auch die von dem Krümmungshalbmesser der Linse bestätigt.

Dagegen ergaben seine Versuche mit verschieden gekrümmten Körpern aus gleichem Material keine übereinstimmende Pressung für die Elastizitätsgrenze. Nach Hertz soll die erste Ueberschreitung der Elastizitätsgrenze bei Glas und ähnlich spröden Körpern in einem kreisförmigen Sprunge bestehen, der nahezu dem Rande der Druckfläche folgt. Die Pressungen, welche zum Sprunge führten, erwiesen sich nun abhängig von der Krümmung der Linsen, und zwar verhielten sie sich umgekehrt wie die dritten Wurzeln aus den Durchmessern der Kugelflächen. Die Belastung an der Elastizitätsgrenze ergab sich somit für Kugel auf Platte auch nicht, wie nach der Hertzschen Formel zu erwarten ist, proportional dem Quadrat des Durchmessers, sondern nur proportional dem Durchmesser. Dieses Verhalten hat eine beweiskräftige Erklärung noch nicht gefunden. Hertz selbst hielt es nicht für ausgeschlossen, dass der Eintritt der Elastizitätsgrenze von Nebenwirkungen abhängig ist; denn er bemerkt mit Bezug hierauf: »Die Folgerungen sind einer Prüfung durch die Erfahrung sehr bedürftig, denn es könnte sein, dass die wirklichen Körper den Vorstellungen der Homogeneität, welche wir zugrunde gelegt haben, sehr wenig entsprechen. Es ist ja bekannt genug, dass die Festigkeitsverhältnisse in der Nähe der Oberfläche, auf welche es hier ankommt, häufig ganz andere sind, als diejenigen im Innern der Körper.<

Ob auch bei Metallen die Pressung an der Elastizitätsgrenze von der Krümmung der Oberfläche abhängig ist, darüber fehlte bislang jeder Anhalt, und doch ist diese Frage für die Technik im allgemeinen und für den Konstrukteur von Kugellagern im besondern wichtig genug; giebt doch ihre Beantwortung zugleich Aufschluss über die Abhängigkeit der zulässigen Belastung von den Krümmungen der sich berührenden Körper. Diese Frage wenigstens für gehärteten Gussstahl durch eingehende Versuche klar zu legen, musste in erster Linie in Aussicht genommen werden. Neben diesen Erwägungen war aber Folgendes zu berücksichtigen: Gl. (3) liefert für Kugel auf Platte wegen =0 und mit 2 ri

1

für

d

(Versuchswert) ergiebt diese Beziehung

2 d2 3 d2 4 d2 5 d2 10d" 50 d 100d2 10160 12810 14660 16140 17380 21900 37450 47180 kg/qcm.

Thatsächlich gilt die Beziehung nur, solange in keinem Punkte der Körper die Proportionalitätsgrenze überschritten wird. Für die Mitte der Druckfläche, wo die gröfste Pressung auftritt, lassen sich aus den Angaben von Hertz die Hauptdehnungen berechnen. Hier verdient nur die gröfste derselben Beachtung, welche normal zur Oberfläche gerichtet ist und mit Rücksicht auf das Vorhandensein dreier Hauptspannungen: Po, 0,8 Po und 0,8 po, (1 − 2 · 0,8 · 0,3) apo = 0,52 upo beträgt, also nur das 0,52 fache der Dehnung, welche die Spannung po für sich allein hervorbringen würde. Lässt man die Dehnung als Mafsstab für die Anstrengung des Materials gelten, so wird demnach die Proportionalitätsgrenze in unserm Falle erst durch eine Pressung erreicht, welche 1,92 mal so grofs ist wie die durch den Druckversuch mit einem prismatischen Stab ermittelte Proportionalitätsgrenze. Dabei ist selbstverständlich vorausgesetzt, dass die Anwendbarkeit der Gl. (3) für die Proportionalitätsgrenze auch durch die Erfahrung bestätigt wird. Zwei Druckversuche mit in Wasser gehärteten Cylindern aus Kugelstahl lieferten für die Proportionalitätsgrenze den Betrag 9000 kg/qcm; für Kugel auf Platte aus gehärtetem Kugelstahl ergiebt damit Gl. (3a) die Belastung bei Eintritt der Proportionalitätsgrenze zu rd. P= 5 d2.

1 0,52

Es darf nicht erwartet werden, dass die Beziehungen auch für gröfsere Belastungen noch zutreffen. Wollte man jedoch die zulässige Belastung gehärteter Stahlkugeln so niedrig wählen, dass die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird,

deutscher Ingenieure

so käme das einem Verzicht auf Kugellager für gröfsere Belastungen gleich.

Eine weitere Aufgabe der Untersuchung war hiernach, für gröfsere Belastungen, auf welche die dritte Vorbedingung der Hertzschen Gleichungen nicht mehr zutrifft, die Formänderungen zu ermitteln, und zwar war neben der elastischen auch die bleibende Eindrückung zu messen.

2. Versuche über die Zusammendrückung gehärteter Stahlkugeln und Platten.

Bei den wenigen Versuchen, welche zur Prüfung der Hertzschen Gleichungen angestellt worden waren, wurden, wie schon erwähnt, die Durchmesser der Druckflächen gemessen. Dieses Verfahren ist im vorliegenden Falle unbrauchbar, weil sich damit über die bleibenden Formänderungen nichts feststellen lässt. Aber selbst hiervon abgesehen erschien es fast undurchführbar, ein Körperpaar, das einer grofsen Anzahl von Belastungsstufen ausgesetzt werden musste, nach jeder Belastung aufser Berührung zu setzen, um die Druckflächen unter dem Mikroskop ausmessen zu können. War dabei doch ein erschwerender Umstand auch die elastische Nachwirkung zu berücksichtigen, die sich bei gehärtetem Stahl recht bemerkbar macht. Es wurde deshalb die Annäherung der Körper gemessen, für welche Hertz die Beziehung 1 giebt.

Das Material musste dem besonderen Zweck der Untersuchung entsprechend gehärteter Gussstahl sein. Zur Prüfung der Hertzschen Gleichung eignet sich dieses Material besonders gut, weil seine Proportionalitätsgrenze hoch liegt und dementsprechend verhältnismäfsig starke Drücke anwendbar sind.

Dagegen waren grofse Schwierigkeiten zu erwarten, wenn es sich darum handelte, die Zusammendrückung nach Ueberschreitung der Elastizitätsgrenze zu messen. Sie ist ja in ganz erheblichem Mafse von der Härte der Versuchskörper abhängig, und es liefs sich voraussehen, dass die in grofser Anzahl erforderlichen Versuchskörper nicht durchaus gleich hart sein würden. Um gute Mittelwerte zu erhalten, musste in Aussicht genommen werden, jede Versuchsreihe mit stets neuen Körpern mehrfach zu wiederholen. Glücklicherweise waren die von den deutschen Waffen- und Munitionsfabriken gelieferten Kugeln in der Härte verhältnismäfsig wenig verschieden, und es treten infolgedessen in der Zusammenstellung der Ergebnisse bedenkliche Unstetigkeiten nicht auf.

Drückt man nach den älteren Vorgängen eine Kugel gegen eine ebene Platte, so ist die zweite Voraussetzung, dass nur Kräfte normal zur Druckfläche wirken sollen, nicht erfüllt, weil die sich berührenden Oberflächenelemente mit Ausnahme der mittelsten verschiedene Dehnung erfahren und deshalb das Bestreben haben, sich über einander zu verschieben, was nur unter Ueberwindung der Reibung möglich ist. Dagegen ist die Bedingung 2 erfüllt, wenn nach Gröfse und Eigenschaften gleiche Kugeln gegen einander gepresst werden. Es wurde deshalb zunächst dieser Fall untersucht. In der Folge wurden jedoch auch noch Kugeln gegen ebene Platten gedrückt. Man erlangte auf diese Weise zwei Gruppen von Versuchsreihen, deren jede dazu dienen konnte, die Abhängigkeit der Belastung an der Elastizitätsgrenze von dem Durchmesser der Kugeln zu be

stimmen.

Die Annäherung der Versuchskörper wurde mit einem Spiegelapparat nach Martens gemessen.

Bei den Versuchen der ersten Gruppe wurden drei Kugeln auf einander gestellt. In halber Höhe der einen äufseren Kugel wurden die Schneiden der Messstreifen und entsprechend an der andern äufseren Kugel die Spiegelschneiden angesetzt; Fig. 1. Es befanden sich also innerhalb der Messstrecke zwei Paare Druckflächen, und man mafs die Annäherung von zwei Körperpaaren zusammen. So liefsen sich kleinere Einsenkungen bestimmen als bei der einfachen Anordnung, was besonders mitbezug auf die noch zu messenden, sehr kleinen bleibenden Zusammendrückungen von Wichtigkeit war, und aufserdem gestattete diese Anordnung, die Anzahl der Versuchsreihen zu vermindern, indem die gemessenen

Gröfsen schon die Mittelwerte für zwei Körperpaare darstellten. Auch liefsen sich die längeren Messstreifen leichter handhaben als die für die einfache Anordnung erforderlichen

Kurzen.

Hr. Dr. Amsler, mit dem ich gelegentlich über meine Absicht sprach, drei Kugeln zur Messung der Formänderungen über einander zu setzen, und der hierdurch veranlasst wurde, sich mit dem Gegenstand zu befassen, lieferte mir nach Fig. 1.

Die

Dicke gleich dem Kugelhalbmesser oder gröfser war. Platten bestanden aus gleichem Material wie die Kugeln und waren in derselben Weise wie diese gehärtet worden.

Die Längenänderung der Messstrecke wurde in 500 facher Vergröfserung beobachtet. Die beobachtete Zusammendrückung stellt also zugleich den Mittelwert für die Annäherung eines Körperpaares in 1000 facher Vergröfserung vor.

Die beschriebene Vorrichtung wurde in eine Amslersche 5 Tonnen- Presse für Druckversuche eingesetzt.

Die Versuchskörper wurden abwechselnd zusammengedrückt und entlastet. Für jede Belastungsstufe wurde dieses Verfahren so oft wiederholt, bis die Annäherung sich nicht mehr änderte. Bei den ersten Versuchen hob man den Druck auf den oberen Stempel des Kugelhalters jedesmal vollständig auf, sodass nur dieser mit seinem Gewicht auf die Kugeln drückte. Es

Fig. 3.

Fig. 2.

einiger Zeit eine Vorrichtung,
die im wesentlichen mit der
in Fig. 2 abgebildeten über-
einstimmt.

Die Lage der beiden äufseren Kugeln in diesem Kugelhalter ist durch kleine kegelförmige Vertiefungen bestimmt. Die mittleren Kugeln wurden nach den beiden äufseren mit Hülfe eines ebenen und eines winkelförmigen Lineals eingerichtet, Fig. 3. Amsler hat zum gleichzeitigen Einsetzen der drei Kugeln eine Zange mit entsprechend geformten Greifplatten geliefert, die für kleinere Kugeln auch gut zu gebrauchen ist.

Um für die Schneiden der Feinmessvorrichtung eine sichere Auflage an den äufseren Kugeln zu schaffen, wurden an letztere kurze Rohrstückchen aus Messing gekittet, gegen die sich die Schneiden legten. Gemessen wurde doppelt, zu beiden Seiten der Kugeln.

Bei den Versuchen mit Kugel auf Platte befand sich in der Mitte eine aufsen abgedrehte Platte, Fig. 4, deren

ergab sich hierbei, dass bei den kleineren Belastungen, für welche bleibende Eindrücke mit Sicherheit nicht nachzuweisen waren, die Versuchswerte fast vollständig mit den Rechnungswerten übereinstimmten.

Da eine so weitgehende Entlastung der Kugeln leicht Störungen herbeiführt, so wählte man, nachdem einmal die erwähnte Erfahrung vorlag, die untere Belastungsgrenze höher zumeist 20 oder 50 kg und berechnete die Zusammendrückung, die bei dieser Belastung schon vorhanden war, nach Gl. (1).

Die Versuche erstreckten sich auf Kugeln von 8 bis 9/8" engl. Dmr. Die Ergebnisse sind in den Tabellen 1 bis 2 zusammengestellt.

Jede Tabelle giebt für eine Kugelgröfse die zu den angegebenen Belastungen gehörigen Zusammendrückungen in hundertel Millimeter. Die über den Tabellen leδ findlichen Ausdrücke für 2

deutscher Ingenieure.