1 deutscher Ingenieure. - 52,367 kn Mit 2a + πr = Bestimmung von 1 und 2: Für k1 = 6 kg, also 120,545 folgt: 8,750, ho 1 } h1 + h2 = 456,5. 138,5} + h2 Der Achsdruck wächst also in diesem Fall erheblich mit steigender Nutzspannung, lediglich infolge der Veränderung der Seilkurven und unbeeinflußt durch die Wirkung der Reibung oder Adhäsion. Dieser Einfluß würde erst in Betracht kommen, wenn man die Spannungsänderung längs des Scheibenumfanges berücksichtigen wollte. Welche Verhältnisse treten nun bei Bewegung des Riemens ein? Es ist bekannt, wie auch Hr. Kammerer und schon vorher (1894) Hr. Friedmann dargelegt hat, daß bei undehnbarem Bande die Gestalt der Seilkurve eine gemeine Kettenlinie ist und daß zu der statischen in der Schwerkraft wurzelnden Spannung lediglich die Spannung c2 զ zu addieren ist, welch letztere sich in dem ganzen Bande das Gleichgewicht hält, also einen Einfluß auf den Lagerdruck nicht ausübt. Beim elastischen Riemen wäre dies nur dann der Fall, wenn die Dehnung überall im Bande konstant wäre. Da diese Voraussetzung nicht gemacht werden kann, so müssen die Bewegungsvorgänge noch näher untersucht werden. Zu diesem Zweck sei von den allgemeinen Bewegungsgleichungen des elastischen Fadens, wie sie in Rouths »Dynamik« Bd. II S. 432 gegeben sind, ausgegangen. Die Gleichungen beziehen sich auf den Bewegungszustand, wie er in einem bestimmten Zeitpunkt längs einer Fadenkurve stattfindet, und lauten: & v дф + u 9 I t Čt Hierzu gehören noch die kinematischen Gleichungen I u Τ дф ð t T 18 T m Ů σ и Q+ It mo ferner die kinematischen Gleichungen Die Komponenten der Schwerkraft sind, bezogen auf die Einheit der Masse u und P = − g sin f¶, sind einem materiellen Punkt des Fadens zugeordnet und sind Funktionen des Ortes o auf dem Faden und der Zeit t. Ferner beschränken wir uns darauf, nur den stationären Zustand des Fadens zu untersuchen, und hierdurch ergibt sich noch eine weitere Vereinfachung. Die Integration der Gleichungen (17) und (18) würde u als Funktion von 6 und t: u (o, t), ergeben, wobei o und t unabhängige Veränderliche sind, die jeden möglichen Wert annehmen können. Wir fassen einen bestimmten materiellen Punkt 6 ins Auge und legen uns die Frage vor: Welche Eigenschaften muß u haben, damit u (σ — ct,t) unabhängig von t wird, wenn ċ eine Konstante ist? Dabei ist noch keineswegs vorausgesetzt, daß der Punkt oo ct eine feste Lage im Raum einnimmt. Wir bezeichnen die partiellen Differentialquotienten von u (6, t) nach σ und t durch u1 (6, t) und u2 (6, t). Wenn dann u (6。 — ct, t) unabhängig von t sein soll, so muß sein: du (00 — ct, t) (σο It cui (50 – ct, 0) + 22 (50 – c t, t). Q+ Tos προσ (15). Mit obigem Wert von u ist aber für einen endlichen Zeitabschnitt 10т A o t Οσ Hierin bedeuten (genau nach der Bezeichnung Routh) u und die Geschwindigkeitskomponenten nach der Richtung der Tangente und der Normale der Fadenkurve, T die Fadenspannung, s die Länge des gedehnten, die des ungedehnten Fadens, den Neigungswinkel der Tangente an die Fadenkurve gegen die Abszissenachse, o den Krümmungshalbmesser, m die Masse auf die Längeneinheit des ungedehnten Fadens, P'm do, Qm do die Kraftkomponenten in der Richtung der Tangente bezw. der Normale. Ŏ s 2 ist die Elastizitätskonstante derart, daß Οσ Die Koordinate o bestimmt einen materiellen Punkt des Fadens. Diese Gleichungen beschreiben jede beliebige Bewegung oder Schwingung eines elastischen Fadens, ihre Integration dürfte jedoch in den meisten Fällen große Schwierigkeiten bieten. 2 57. Nr. 25 1913 Hier tritt die Veränderliche t nicht mehr auf; T ist an einem im Raume festliegenden Punkt der Fadenkurve nur von der Lage dieses Punktes und nicht von der Zeit abhängig; daher bestimmen diese letzten Gleichungen die Gestalt der Fadenkurve und den Verlauf der Spannung. Weil aber T( — ct,t) unabhängig von t ist, so folgt daraus, daß der Punkt 。 — ct der Fadenkurve im Raume festliegt, falls T nicht konstant ist. Mit Rücksicht auf schreiben wir die Differentialgleichung für die Fadenkurve in der Form: T ds dr 1+ T 2 T λ (21). Für c= O erhält man die Gleichungen für den in Ruhe befindlichen elastischen Faden. Die Gestalt des bewegten Fadens ist von der Geschwindigkeit c abhängig, die Abweichung von der gemeinen Kettenlinie nimmt aber mit wachsender Geschwindigkeit ab Für das Verhalten des elastischen Riemens sei daher die gemeine Kettenlinie zugrunde gelegt; die Abweichungen bezw. Fehler können jederzeit durch die Gleichungen (25) kontrolliert werden. In der Regel ist die Elastizitätskonstante 2 so groß, daß sie nicht in Betracht kommen. Für den Uebergang des Riemens über die Scheiben gelten natürlich ebenfalls die allgemeinen Bewegungsgleichungen (17) und (18). Sieht man hier von dem Eigengewicht des Riemens ab, so ist Q der negative Wert des Normaldruckes, der von der Scheibe auf den Riemen ausgeübt wird. An den Stellen, wo Gleitung stattfindet, ist P = μ Q, wo μ den Reibungskoeffizienten bedeutet. u2 Mit Q ди It m r aus Gl. (17) folgt: T Hierdurch in Verbindung mit wegungsvorgang auf der Scheibe im allgemeinsten (nicht stationären) Falle beschrieben. Die Integration läßt außerordentliche Schwierigkeiten erwarten. und damit geht Gl. (26) über in oder mit do λ und schließlich mit ds =rdq in 57. Nr. 25 1913 Achsdruck Achsdruck bei Leerlauf 60 m/sk Vergl. mit Abb. 67 und 68, S. 45 und 46 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57. Die scheinbare Uebereinstimmung der Achsdrucklinie mit der Linie hok in Abb. 67 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten ergab sich nur, weil man die Geschwindigkeit nicht hoch genug getrieben hatte. Die Neigung zur Abweichung ist auch in Abb. 67 deutlich zu erkennen. Um zu sehen, ob ein grundsätzlicher Unterschied zwischen Riemen und Seilen besteht, wurde auch Abb. 71, die sich auf einen Leerlaufversuch mit Seilen bezieht, nachgeprüft. Die Daten sind gemäß dem Versuchsbericht: Vorspannung für 1 Seil 150 kg, Gewicht für 1 m 1,68 kg, daher ho gab die Werte der folgenden Zahlentafel: с k (2 a + π r) q hồ” 1/3 EF a" (1 - 4) (2 α + πr) q E1 + Sq EF 2 1 1/2 2 wo hok stellt sich auch Die übliche Berechnungsweise h als theoretisch unbegründet dar1). Vergl. mit Abb. 71, S. 48 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57. deutscher Ingenieure. 51 Wie Abb. 10 zeigt, stimmen sie nicht mit den Kammererschen Ergebnissen nach Abb. 68 der »Mitteilungen« überein. Meßfehler von der Größe der Abweichung sind nach der guten Uebereinstimmung von Abb. 7 mit Abb. 71 der »Mitteilungen<< nicht wohl anzunehmen. Eine sichere Begründung dieses Verhaltens des Riemens auf Grund der vorliegenden Versuchsergehnisse ist noch nicht möglich; die folgenden Ausführungen sind lediglich als Versuch einer Erklärung aufzufassen. Zunächst kann man schließen, daß der Riemen sich bei Leerlauf wie ein vollkommen elastisches Band verhält, nicht aber bei Belastung, worauf auch Hr. Kammerer hindaß gewiesen hat, und man kann noch weiter behaupten, der Mittelwert der Dehnung, bezogen auf den ganzen Riemen (h1 + h2) g von dem arithmetischen Mittel beträchtlich verschieEF den gewesen sein muß. WO Das elastische Nachhinken (Hysteresis) des Riemens gibt anscheinend eine Erklärung hierfür. Wie Versuche des Hrn. Kammerer am vollständigen Riemen ergeben haben, braucht das Material Zeit, um sich auf die, selbst einer konstanten Spannung entsprechende Dehnung einzustellen. Beim Leerlauf, die Spannung im ganzen ganzen Riemen nahezu konstant ist, wird dies auch geschehen. Bei Belastung unter höherer Geschwindigkeit wechselt die Spannung für jedes Riemenelement sehr rasch innerhalb mehr oder weniger weiter Grenzen, je nach der Nutzspannung. Diesem Spannungsverlauf dürfte die Dehnung nicht augenblicklich folgen, es scheint vielmehr der Mittelwert von Eɛ sich nur langsam dem Mittelwert der Spannungen zu nähern. Wenn also ein Riemenelement, von einem Spannungszustand o ausgehend, einer neuen konstanten Spannung 61 unterworfen wird, so verändert sich die Dehnung & derart, daß der Wert E & in nicht zu langer Zeit von 。 nach σ gelangt, Abb. 8. nung k belastet, oder von einem höheren Belastungszustand auf k zurückgeht. Man kann hiernach 2 Grenzen angeben, innerhalb deren der Lagerdruck bleiben müßte. Der höchste Lagerdruck müßte einem Mittelwert der Dehnung zugehören, welcher der Spannung des gezogenen Trums entspricht, der niedrigste einer Dehnung, die der Spannung des ziehenden Trums entspricht. Gl. (35) gibt hierüber Auskunft, wenn wir sie in der Form schreiben: kg/cm Band für kn= 4kg/cm 22 obere Grenze des Achsdruckes bei kn = 4 kg/cm что Zeit t Tritt jedoch an die Stelle von σ eine zeitlich rasch 01 zwischen 1⁄2 und 63 wechselnde Spannung, so dürfte der Vorgang folgendermaßen verlaufen: Der Mittelwert von Es wird verhältnismäßig rasch den Betrag von 02 erreichen, von hier ab wird er sich wahrscheinlich langsam aufwärts bewegen, Abb. 9. Aehnlich ist das Verhalten, wenn Go höher als 62 und 63 liegt. Hierüber können nur Versuche Aufschluß geben, insbesondere müßte sich zeigen, daß man verschiedene Lagerdrücke erhält, je nachdem man den unbelasteten Riemen mit der Nutzspan Achsdruck untere Grenze des Achsdruckes für kn=4kg/ 70 Achsdruck bei Leerlauf 20 30 40 50 60 m/sk 2(ko-k) • Versuchsergebnisse nach Abb. 68, S. 46 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57. |