für kn

228,2
130,5

11 kg, 1 — 2

für kn = 6 kg:

51

1,378 L2 = 0,833

52

ди

11 0,0615

270 1,508, hi 0,50%, h2 91

178,9 m folgt zur

} h1 + h2 358,7, also >2h.

Der Achsdruck nimmt bei Belastung nicht merklich zu, was davon herrührt, daß das erste Glied der rechten Seite der Gleichung (13) von überwiegendem Einfluß ist. Je größer E, also je weniger dehnbar der Riemen ist, desto mehr wird die Grashofsche Formel fehlerhaft. Nimmt man im vorliegenden Falle E∞, den Riemen also als undehnbar an, dann folgt

=

1,00 folgt:

} h1 + h2 361 > 2 ho.

h1 246,6) h1 + h2 h2- 149

11 kg: 51 €1,775 h1 52 €0,775 h2 Der Achsdruck wächst also in diesem Fall erheblich mit steigender Nutzspannung, lediglich infolge der Veränderung der Seilkurven und unbeeinflußt durch die Wirkung der Reibung oder Adhäsion. Dieser Einfluß würde erst in Betracht kommen, wenn man die Spannungsänderung längs des Scheibenumfanges berücksichtigen wollte.

Welche Verhältnisse treten nun bei Bewegung des Riemens ein? Es ist bekannt, wie auch Hr. Kammerer und schon vorher (1894) Hr. Friedmann dargelegt hat, daß bei undehnbarem Bande die Gestalt der Seilkurve eine gemeine Kettenlinie ist und daß zu der statischen in der Schwerkraft wurzelnden Spannung lediglich die Spannung c2 զ zu addieren ist, welch letztere sich in dem ganzen Bande das Gleichgewicht hält, also einen Einfluß auf den Lagerdruck nicht ausübt. Beim elastischen Riemen wäre dies nur dann der Fall, wenn die Dehnung überall im Bande konstant wäre. Da diese Voraussetzung nicht gemacht werden kann, so müssen die Bewegungsvorgänge noch näher untersucht werden.

y

Zu diesem Zweck sei von den allgemeinen Bewegungsgleichungen des elastischen Fadens, wie sie in Rouths »Dynamik« Bd. II S. 432 gegeben sind, ausgegangen.

Die Gleichungen beziehen sich auf den Bewegungszustand, wie er in einem bestimmten Zeitpunkt längs einer Fadenkurve stattfindet, und lauten: IT & v d q + u 9 I t m Ŏ o Čt

P+

318

138,5}

395,6,

} h1 + h2 = 456,5.

+ h2

I p

Q+

I t

Ŏ t

Tos προσ Hierzu gehören noch die kinematischen Gleichungen

v

Τ

T

Τ

W

v

2/ (1 + 2), 3 ? (1 + 2) = 83 82 + (1 + 2) (16).

q ð t

von

10 T I u A o t ὃσ Hierin bedeuten (genau nach der Bezeichnung Routh) u und die Geschwindigkeitskomponenten nach der Richtung der Tangente und der Normale der Fadenkurve, T die Fadenspannung, s die Länge des gedehnten,

V

die des ungedehnten Fadens, den Neigungswinkel der Tangente an die Fadenkurve gegen die Abszissenachse, o den Krümmungshalbmesser, m die Masse auf die Längeneinheit des ungedehnten Fadens, P'm do, Qm do die Kraftkomponenten in der Richtung der Tangente bezw. der Normale.

T λ

Ŏ s 2 ist die Elastizitätskonstante derart, daß ὃσ Die Koordinate o bestimmt einen materiellen Punkt des Fadens. Diese Gleichungen beschreiben jede beliebige Bewegung oder Schwingung eines elastischen Fadens, ihre Integration dürfte jedoch in den meisten Fällen große Schwierigkeiten bieten.

(15).

1 +

P = − g sin f¶,

Q

g cos q.

u und sind einem materiellen Punkt des Fadens zugeordnet und sind Funktionen des Ortes o auf dem Faden und der Zeit t. Ferner beschränken wir uns darauf, nur den stationären Zustand des Fadens zu untersuchen, und hierdurch ergibt sich noch eine weitere Vereinfachung.

Die Integration der Gleichungen (17) und (18) würde u als Funktion von 6 und t: u (o, t), ergeben, wobei o und t unabhängige Veränderliche sind, die jeden möglichen Wert annehmen können. Wir fassen einen bestimmten materiellen Punkt 6 ins Auge und legen uns die Frage vor: Welche Eigenschaften muß u haben, damit u (σ — ct,t) unabhängig von t wird, wenn ċ eine Konstante ist? Dabei ist noch keineswegs vorausgesetzt, daß der Punkt oo ct eine feste Lage im Raum einnimmt.

Wir bezeichnen die partiellen Differentialquotienten von u (6, t) nach σ und t durch u1 (6, t) und u2 (6, t). Wenn dann u (6。 — ct, t) unabhängig von t sein soll, so muß sein: du (00 — ct, t)

0 cui (50 – ct, 0) + 22 (50 – c t, t).

It

Nun hatten wir aber der Koordinate σ keine Beschränkung auferlegt, es ist daher auch 。-ct ein vollkommen willkürliches Argument. Die Funktion u muß daher die Eigenschaft

o

cu + uz = 0
1 Ou
cat

Ju

1 +

T mo

Τ

(1+ (17);

î

ud t
Τ'
λ

Dieser Wert wird nur dann unabhängig von der Lage des Punktes, wenn Cc; wir nehmen letzteres an und erhalten demgemäß:

d t Τ A

1 +

T

U

= c(1 + 1/7 ) (20). Unsere Bewegungsgleichungen vereinfachen sich jetzt I u COT Әт 1 d T noch weiter. Aus folgt: I t i o t ὃσ c o t I u c2 OT I t λοσ

(20a), und hiermit gehen die Bewegungsgleichungen über in

1

T

( 22 - 4) 8 %

d o

57. Nr. 25

1913

Hier tritt die Veränderliche t nicht mehr auf; T ist an einem im Raume festliegenden Punkt der Fadenkurve nur von der Lage dieses Punktes und nicht von der Zeit abhängig; daher bestimmen diese letzten Gleichungen die Gestalt der Fadenkurve und den Verlauf der Spannung. Weil aber T( — ct,t) unabhängig von t ist, so folgt daraus, daß der Punkt 。 — ct der Fadenkurve im Raume festliegt, falls T nicht konstant ist. 1+ schreiben wir die Differentialgleichung für die Fadenkurve in der Form:

Mit Rücksicht auf

ds dr

T\d T

( − 1) (1 + 7) 17

d s

mit T

und

T 2 T

T

c2 (1 + 737) 2 — — (1 + 737)

с

1) =

(21).

λ

M

gQ cos q Dividieren wir die erste der Gleichungen (21) durch die zweite und berücksichtigen, daß d s sin pdy, so folgt:

1

6-)ar

d T

2.

C2 + ( 22 = 1) r

T

2

M

Wir setzen

d x

2

C2 + ( − 1 ) T = [~ +

Aus

m g x

Τ

m.g d x

dy dx

+

To für p=0.

Ersetzt man in der ersten der Gleichungen (21) d s sin î durch dy, so läßt sich die Gleichung integrieren und liefert: λ

Τ 2

To

=즐(-) − 9 (930) — — (†2 — — ) [(1+)2 - (+7)] -(1+ λ

- g (y yo) =

·

2

Entnimmt man aus Gl. (22) den Wert von T und führt ihn in die letzte Gleichung ein, so erhält man nach einigen Umformungen: m c2

mg (y-yo)= To

1 + √ 1 + p2

ay

To

1

p folgt:

d x

und damit aus Gl. (23):

To

[7][

m c2
m c2

1

2

1

m c2

dy cos

1 p

m c

ん

y' =p; dann folgt durch Integration:

2

( − 1)]+2 (22) [c2 2 To]V1+p2

V

2

m

y=h| V1+p2 + 12/1/21 (

m c2

mcr

¿

m g h

dy=

2

m c

To

m c2

2

*)( - )"]

2

mc2

1

T î

g sin T,

h = To

2

x = h—log {Vi '1 + p3 − p { +

1

p

+ m g h V 1 + p2

y" dy

1+ y

m c2

m

+

To

(1

++ ( − 1 ) ( )"]

m c2

λ

12

1

√1 + p2

2

Die Größe yo in Gl. (23) ist eine willkürliche Integrationskonstante. Wir bezeichnen sie mit h und setzen m c2

m c2
2

1

y" y' dx. 1 + 3/12

2

1/

1

a y d Pr

d P

2

log {V1+p-p}

Dann erhalten wir für den im stationären Bewegungszustand befindlichen elastischen Faden die einfachen Beziehungen:

( 1 − m, c3) mg hp]

ĥ

|

m c2

102 ) mgr p2 ]

h

(23).

d p

(24).

(25).

ken, Vergleiche zwischen den Versuchs- und den Rechnungsergebnissen für den vollkommen elastischen Riemen einerseits oder den unvollkommen dehnbaren Riemen anderseits anzustellen.

57. Nr. 25

1913

Die Ergebnisse sind in Abb. 6 eingetragen; wie man sieht, stimmt die Linie des Achsdruckes nicht mit der Parabel 2 (h。 −k) überein, sondern entfernt sich bei rd. 30 m/sk Geschwindigkeit von ihr in stärkerem Maß und nähert sich mit steigendem c der Null-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel ho k mit der Null-Achse hat in bezug auf den Achsdruck keinerlei Bedeutung.

Abb. 6. Doppelriemen, 400 mm breit.

daher

ho

с

Achsdruck

k

150 1,68

kg 300

Die scheinbare Uebereinstimmung der Achsdrucklinie mit der Linie hok in Abb. 67 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten ergab sich nur, weil man die Geschwindigkeit nicht hoch genug getrieben hatte. Die Neigung zur Abweichung ist auch in Abb. 67 deutlich zu erkennen.

Um zu sehen, ob ein grundsätzlicher Unterschied zwischen Riemen und Seilen besteht, wurde auch Abb. 71, die sich auf einen Leerlaufversuch mit Seilen bezieht, nachgeprüft. Die Daten sind gemäß dem Versuchsbericht: Vorspannung für 1 Seil 150 kg, Gewicht für 1 m 1,68 kg,

für ein Seil

89,25 m; F

m

nommen.

51 - 52 genügen:

Vergl. mit Abb. 67 und 68, S. 45 und 46 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57.

Die Gleichung gab die Werte der folgenden Zahlentafel:

Grenzen des Achsdruckes bei kn=4kg

60

367

0,072 6.4

50

255

0,093 8,3

14,7 qcm; E = 1700; a=2,875 m; 1 = 1,25 m.

19,5

9,5 (1 − k.) — — 19,5 ? + 1⁄41⁄2 ça

40

Achsdruck

bei Leerlauf 60 m/sk

163

0.131 11,7

Die Ergebnisse sind in Abb. 7 eingetragen und zeigen nur Abweichungen von den Kammererschen Ergebnissen, die innerhalb der Meßfehlergrenzen liegen. Ein grundsätzlicher Unterschied zwischen Riemen und Seilen besteht also in dieser Beziehung nicht; die Elastizität des Materiales kommt bei Leerlauf voll zur Geltung. Das Entstehen der Ueberschußspannung 2 h — 2 (h。 —k) ist erklärt.

Abb. 7. Seil von 50 mm Dmr.

30

91,8

0,244

21,7

13 er

Vergl. mit Abb. 71, S. 48 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57.

60 m/sk

20

40,8

0,577

51,5

Um den Lagerdruck bei Belastung zu untersuchen, wurde zunächst der Riemen als vollständig elastisch angeEntsprechend der Nutzspannung k 4 kg ist 0,364. 1 und 2 müssen außerdem der Gleichung

60

367

0,419

0,055

75

9,85 84,85

50

255

0,438

0.074

78.4

"

13,2

91,6

Abb. 8.

40

163

0,491

0,127

78,8

22,8 110,6

30

91.8

9

0.693

0,329

124

59

183

Wie Abb. 10 zeigt, stimmen sie nicht mit den Kammererschen Ergebnissen nach Abb. 68 der »Mitteilungen« überein. Meßfehler von der Größe der Abweichung sind nach der guten Uebereinstimmung von Abb. 7 mit Abb. 71 der »Mitteilungen<< nicht wohl anzunehmen. Eine sichere Begründung dieses Verhaltens des Riemens auf Grund der vorliegenden Versuchsergehnisse ist noch nicht möglich; die folgenden Ausführungen sind lediglich als Versuch einer Erklärung aufzufassen. Zunächst kann man schließen, daß der Riemen sich bei Leerlauf wie ein vollkommen elastisches Band verhält, nicht aber bei Belastung, worauf auch Hr. Kammerer hindaß gewiesen hat, und man kann noch weiter behaupten, der Mittelwert der Dehnung, bezogen auf den ganzen Riemen (h1 + h2) g von dem arithmetischen Mittel beträchtlich verschieEF den gewesen sein muß.

WO

Das elastische Nachhinken (Hysteresis) des Riemens gibt anscheinend eine Erklärung hierfür. Wie Versuche des Hrn. Kammerer am vollständigen Riemen ergeben haben, braucht das Material Zeit, um sich auf die, selbst einer konstanten Spannung entsprechende Dehnung einzustellen. Beim Leerlauf, die Spannung im ganzen ganzen Riemen nahezu konstant ist, wird dies auch geschehen. Bei Belastung unter höherer Geschwindigkeit wechselt die Spannung für jedes Riemenelement sehr rasch innerhalb mehr oder weniger weiter Grenzen, je nach der Nutzspannung. Diesem Spannungsverlauf dürfte die Dehnung nicht augenblicklich folgen, es scheint vielmehr der Mittelwert von Eɛ sich nur langsam dem Mittelwert der Spannungen zu nähern.

Wenn also ein Riemenelement, von einem Spannungszustand o ausgehend, einer neuen konstanten Spannung 61 unterworfen wird, so verändert sich die Dehnung & derart, daß der Wert E & in nicht zu langer Zeit von 。 nach σ gelangt, Abb. 8.

Zeit t

20

40,8 0,960

0,596

171,8

106,7

278,5

Tritt jedoch an die Stelle von σ eine zeitlich rasch 01 zwischen 1⁄2 und 63 wechselnde Spannung, so dürfte der Vorgang folgendermaßen verlaufen:

Der Mittelwert von Es wird verhältnismäßig rasch den Betrag von 02 erreichen, von hier ab wird er sich wahrscheinlich langsam aufwärts bewegen, Abb. 9. Aehnlich ist das Verhalten, wenn Go höher als 62 und 63 liegt. Hierüber können nur Versuche Aufschluß geben, insbesondere müßte sich zeigen, daß man verschiedene Lagerdrücke erhält, je nachdem man den unbelasteten Riemen mit der Nutzspan

бо

nung k belastet, oder von einem höheren Belastungszustand auf k zurückgeht.

Man kann hiernach 2 Grenzen angeben, innerhalb deren der Lagerdruck bleiben müßte. Der höchste Lagerdruck müßte einem Mittelwert der Dehnung zugehören, welcher der Spannung des gezogenen Trums entspricht, der niedrigste einer Dehnung, die der Spannung des ziehenden Trums entspricht.

Gl. (35) gibt hierüber Auskunft, wenn wir sie in der Form schreiben:

63

1/3 — 52,7 (1

1

իջ

und hierin im ersten Falle H he. im letzteren H hi setzen. Die Berechnung ist für den Doppelriemen mit k1 = 4 kg durchgeführt. Aus 1 - C2 0,364 und der Gleichung (für

――――――――――

H = h2)

(H-ho + k) q

EF

Achsdruck

m

Hole

erhält man folgende Ergebnisse:

— 1)

ho

60

70

Abb. 9.

a

6

3

+

50

20

Zeit t

a

3 ho

163

367 255 0,423 0.499 0,059 0,085

0,551

75,8

80,5

h2

10,6 իլ — 12 86,4 Für den Fall Ih

=

0.187 98.7 15.2 33,5 95,7 132,2 erhält man: 0,430 0,462 0,569 0,791 0,066 0,098 0.205 0,427 0,640 77 82.9 101,7 141,5 179,7 11,8 17,7 36,7 76,5 114,4 138,4 218,0 294,1

1,004

untere Grenze des Achsdruckes für kn=4kg/

0,416 0,052 71,5 9.3

83,8 88 8 100,6

deutscher Ingenieure.

40

52,7 2

1

1

(+3)+0,00171 (−3+63)

30

Eɛm

da suda

Mittelwert (langsam ansteigend)

40

Je kleiner die Geschwindigkeit, um so mehr kann die Elastizität des Riemens zur Geltung kommen, um so mehr wird die Kurve des Lagerdruckes der Mitte zwischen den Grenzkurven zustreben.

Abb. 10. Doppelriemen, 400 m breit. Nutzbelastung 4 kg/cm. Achsdruck beim vollkommen elastischen kg/cm Band für kn= 4kg/cm

22

30

obere Grenze des Achsdruckes bei kn = 4 kg/cm

2(ko-k)

20

91.8 40,8 0 0,860 1,137 1,362 0,496 : 0,773 0,998 154 203,5 244 88,8 138,4 178,5 242,8 422,5

1

341,9

"

0

60 m/sk

• Versuchsergebnisse nach Abb. 68, S. 46 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 56 und 57.