31. Dezember 1898. Diese Gleichung, die natürlich für alle x verwendet Die Bestimmung der Unveränderlichen (nach der Methode 2) Johnson-Parabel: бв 2724 0,000154 [(£) = 0,35. Für die Johnson-Parabel sind σ und y unabhängig von In der folgenden Zusammenstellung der beobachteten und Der aufgeführte mittlere Fehler 1) bezieht sich auf alle 1) Modern framed structures, New York 1894, S. 148. Auge fasst, so ersieht man, dass die gerade Linie und die angemessen, bei den folgenden Untersuchungen ganz von ihr abzusehen. Wir gehen nun zu den Tetmajerschen Versuchen mit Schweifseisen (Spitzenlagerung) über, wo also nur die gerade Linie und die Johnson-Parabel betrachtet zu werden brauchen. Für die Konstanten ergiebt sich: 2581 und E = 63069 kg/qcm, 8 = 13,47 gerade Linie: Johnson-Parabel: σ = 2581 Y 0,087. Berechnet man, mit σ 2000000, ↑ nach Gl. (8 a), so findet sich y 0,0844. Die die Euler-Kurve tangirende Parabel ist also auch hier sehr nahezu die bestmögliche. Der Berührungspunkt ist nach (8b) x 124; die gerade Linie 3069-13,47 x schneidet die Euler-Kurve für x= 112. Die Versuche Nr. 59 bis 72 sind einzelne, die übrigen sind Mittelwerte aus je zweien und als solche in die Berechnungen eingeführt. Die (eingeklammerten) Euler-Werte sind mit E=2000000 gerechnet. In der folgenden Zusammenstellung der beobachteten und berechneten Spannungen sind nur Versuche mit <124 aufgeführt. σ deutscher Ingenieure. 93 und x = 115. Bei der Bestimmung der Unveränderlichen für die Parabel sind von den unten genannten Versuchen nur solche, bei denen die Bruchfestigkeit 3500 bis 4050 kg/qcm beträgt, berücksichtigt; für die gerade Linie ist aufserdem der letzte Versuch (mit x = 121) ausgeschieden; den nun gefundenen Gültigkeitsgrenzen zufolge hätte eigentlich für jede Kurve noch ein Versuch ausgeschieden werden müssen. Bei der Berechnung des mittleren Fehlers sind nur die innerhalb der Gültigkeitsgrenzen liegenden Versuche inbetracht gezogen. Der mittlere Fehler ist hier bedeutend grösser als bei den Tetmajerschen Versuchen, was zumteil dadurch erklärt werden kann, dass bei jenen die meisten Mittelwerte zweier Versuche sind, während die Ergebnisse Considères alle einzelne sind. Da indes die Fehler immerhin ziemlich grofs sind, soll nachgeforscht werden, ob nicht die verschiedene Festigkeit des Materials als Erklärung dienen kann. J. B. Johnson will mit σ in seiner Formel die Fliefsgrenze bezeichnet wissen; hier ist nun die Fliefsgrenze leider nicht angegeben (und auch nicht gemessen), aber die Bruchgrenze b ist für jede Probe durch Zugversuche bestimmt, und wir wollen daher versuchen, durch Einführung eines gewissen Teiles dieser Bruchgrenze eine bessere Annäherung zu erreichen. Wir setzen also mittlerer Fehler 139,6 ±136,6 Das Ergebnis dieser Untersuchung ist also, dass die beiden Formeln etwa gleich gut sind. Von Knickungsversuchen mit Spitzenlagerung liegen nur noch, soviel mir bekannt, die von Considère und Bauschinger angestellten vor. Wir betrachten zuerst diejenigen von Considère1), bei denen die von Bauschinger und Tetmajer benutzten Stahlspitzen durch zwei sich rechtwinklig kreuzende Stahlschneiden ersetzt waren. Das Material der Säulen war sowohl Schweisseisen als Flusseisen oder -stahl und von ziemlich verschiedener Festigkeit. Auch die anderen Materialeigenschaften waren sehr verschieden; so wurde z. B. bei einigen der Proben das Eisen im »natürlichen Zustande, wie 1) Rapport de la commission des méthodes d'essai usw., Paris 1895, Bd. III S. 126. Eine ähnliche Umgestaltung der Geraden-Formel, um sie für Material mit verschiedener Festigkeit brauchbar zu machen, ist bekanntlich von Thos. H. Johnson vorgeschlagen, indem er nur solche Geraden anwenden will, die die EulerKurve berühren. Da aber die bestbelegenen Geraden, wie sich auch oben bei der Behandlung der Tetmajerschen Versuche ergeben hat, die Euler-Kurve eben nicht tangiren, so ist im voraus klar, dass man in dieser Weise kaum dieselbe Genauigkeit erreichen kann wie mit der Parabel, und es ist daher von einer solchen Umgestaltung abgesehen. Die Bestimmung von a und in (11) ergiebt Da VB = 0,818, ist (12) beinahe erfüllt. Die nach (11) berechneten Spannungen sind in der folgenden Zusammenstellung mit o bezeichnet. Das Ergebnis ist also, dass die Geraden-Formel bedeutend weniger zutreffend ist als die Parabel. 2) Flusseisen oder Flussstahl. Hier ist die Festigkeit b des Materials so verschieden, dass es ganz aussichtslos erscheint, eine andere Formel als (11) anzuwenden. Die Bestimmung der Unveränderlichen ergiebt, indem E=2150000 gesetzt ist, Ɑ = 0,63, p 0,41. Da VB 0,64, ist die Bedingung (12) sehr genau erfüllt. Die mit α = 0,63, p a2 = 0,40 berechneten und die beobachteten Spannungen sind in der folgenden Zusammenstellung aufgeführt. 31. Dezember 1898. sehr gut. 2930 2780 Endlich sind noch die Berechnungen für die Versuche (mit Spitzenlagern), die Bauschinger angestellt hat, durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Versuche sind aber unter sich so abweichend und zugleich ist ihre Zahl so gering, dass wir von ihrer Aufführung absehen können. Es soll nur gesagt werden, dass die Formeln (7) und (8) etwa gleich genau (oder ungenau) sind, und dass man mit Gl. (11), wenn man für b die beobachtete Fliefsgrenze einführt, bedeutend bessere Ergebnisse erzielt. Die Unveränderlichen a und ẞ in Gl. (11) werden α = 0,96, B 0,90, = Wir beschränken uns darauf, anzuführen, dass man (mit E 2000 000) erhält: für 17 Versuche mit für 15 Versuche mit deutscher Ingenieure. 231 134 1590 1820 237 156 1510 238 120 1850 242 131 243. 92 247 136 1810 1780 1770 1670 1560 1590 1450 1920 1950 1900 1950 1880 1840 1840 1810 1810 2150 2110 2180 2150 2240 2170 1810 1790 1760 1740 30,3 2590 2530 2480 2700 2610 41,1 2380 2460 2450 2600 2580 82,6 1980 2170 2250 2230 2320 37,2 2480 2480 2460 2640 2590 49,7 2530 2400 2420 2530 2540 62,2 2350 2310 2360 2410 2470 99,8 2170 2060 2130 2080 2170 26,0 2380 2560 2490 2730 2630 34,7 2410 2500 2470 2660 2600 43,4 2390 2440 2440 2580 2570 69,6 2390 2260 2330 2350 27,5 2580 2550 2490 2720 34,4 2470 2500 2470 2660 2600 55,2 2530 2360 2400 2480 2510 mittlerer Fehler 138134 2420 2620 Die Gültigkeitsgrenze der Parabel ist z rd. 140, die gerade Linie liegt ganz unter der Euler-Kurve. Für die Parabel ergiebt sich die freie Länge nach Gl. (14) zu ́n = 0,68. Die Parabel ist viel genauer als die gerade Linie. Noch drei kleinere Versuchsreihen mit Flächenlagern sollen untersucht werden, nämlich die von Bouscaren1), Clark, Reeves & Co.2) und Strobel) angestellten, alle mit Schweifseisen und mit Längenverhältnissen, die ausserhalb des Bereiches der Euler-Kurve liegen. Die Versuche von Bouscaren weisen bedeutende Abweichungen unter einander auf. Wenn die 11 KeystoneSäulen für sich behandelt werden, ergiebt sich: gerade Linie: бв 2863 kg/qcm, ß: 10,7 Johnson-Parabel: B 2468 >> y = 0,068. 31. Dezember 1898. 7) Die einzuführende »freie Länge«, wenn man mit Flächenlagern zu thun hat, geht nur für sehr gespreizte Querschnittsformen, wie Quadranteisen und Z-Säulen, auf 0,55 7 bis 0,6 l hinunter; gewöhnlich muss man mit 0,7 l bis 0,sl rechnen. Weiter besitzt die Parabel noch den Vorzug eines gleichmässigen Ueberganges zur Euler-Kurve. Ein plötzlicher Sprung, wie man ihn mit der geraden Linie gewöhnlich erhält, ist hier nicht zu erwarten, wenn man von analogen Fällen in der Natur schliefsen darf, und der Sprung ist auch nicht dadurch zu erklären, dass er mit der ProportionalitätsDie Proportionalitätsgrenze tritt bei grenze zusammenfällt. Zugversuchen als ein Tangirungspunkt auf und kann daher auch bei Knick versuchen nur einen tangentiellen Uebergang zu einer neuen Kurve bewirken. Schliesslich ist die Gültigkeitsgrenze der Parabel gewöhnlich höher gelegen als die der Geraden, was den praktischen Vorzug hat, dass man seltener zum Gebrauch der Euler-Formel genötigt wird; wenn noch berücksichtigt wird, dass, wie unten gezeigt werden soll, die Abmessungen von Säulen mit der Parabel weit bequemer ermittelt werden können als mit irgend welcher anderen Formel, so ist man wohl berechtigt, den Gebrauch der Parabel in erster Linie zu empfehlen. III. Berechnung der Abmessungen. Alle angeführten Gleichungen sowohl für zentrische als exzentrische Knick festigkeit sind nur bequem, wenn es sich um die Berechnung der Tragkraft einer Säule mit gegebenen Abmessungen handelt. Sollen dagegen die Querschnittsabmessungen bestimmt werden, so ist man gewöhnlich auf Probiren angewiesen. Einige Erleichterung kann man sich durch die folgende Umformung verschaffen; namentlich, wenn man die Johnson-Parabel benutzt, ergiebt sich dabei eine höchst einfache Formel. Es soll daher das Verfahren mit der Parabelgleichung als Ausgangspunkt entwickelt werden Die Parabelgleichung schreibt sich k x2), σ 8 σ beob. OG a 64 2590 2590 >> -b » 2430 88 2430 2430 2440 Das Ergebnis aller dieser Berechnungen kann folgendermafsen zusammengefasst werden: 1) Sowohl die gerade Linie als die Johnson-Parabel liefern sehr brauchbare Ergebnisse. 2) In den meisten Fällen und namentlich bei den längeren Versuchsreihen wird eine etwas gröfsere Genauigkeit mit der Johnson-Parabel als mit der Geraden erreicht. 3) Die Johnson-Parabel ist auch in den Fällen sehr anwendbar, wo man mit Material von sehr verschiedener Festigkeit zu thun hat (Versuche Considères); dagegen kann die Gerade kaum solchen Fällen angepasst werden, ohne dass man sich mit einer geringeren Genauigkeit begnügen müsste. 4) Die Johnson-Parabel enthält in der That nur eine Unveränderliche, б, indem gezeigt worden ist, dass y mit hinreichender Genauigkeit aus der Bedingung der Berührung mit der Euler-Kurve abgeleitet werden kann. Dagegen enthält die gerade Linie zwei von einander ganz unabhängige Unveränderliche. |