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31. Dezember 1898.

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1) gerade Linie:

2) Johnson-Parabel:

3) Rankine-Kurve:

4) exzentrische Formel:

OB

1 +α x2

[ocr errors]

Diese Gleichung, die natürlich für alle x verwendet
werden soll, ist hier nur berücksichtigt, um die Ueberein-
stimmung der Berechnungsweise für exzentrisch belastete
Säulen mit der für zentrisch belastete zu zeigen. Die nach
(10) berechneten Spannungen werden mit ", bezeichnet.

Die Bestimmung der Unveränderlichen (nach der Methode
der kleinsten Quadrate) in allen genannten Gleichungen ist
nur für eine Versuchsreihe durchgeführt, und hierzu sind die
Tetmajerschen Versuche mit flusseisernen Säulen (»Mittei-
lungen<< Heft VIII) gewählt; nur solche mit Spitzenlagerung
sind inbetracht gezogen, und es bleiben dann 60 Versuche,
wovon die 16 mit Rundeisen Einzelversuche, die übrigen 44
(mit Profileisen) Mittelwerte von 2 Versuchen sind. Die Er-
gebnisse der Bestimmung der Unveränderlichen sind:

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(10).

[ocr errors]

0,086
0,000093

0,000154

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In der folgenden Zusammenstellung der beobachteten und
berechneten Spannungen sind die Euler-Werte, die in den
>Mitteilungen< Tetmajers berechnet sind, eingeklammert.

Der aufgeführte mittlere Fehler 1) bezieht sich auf alle
60 Versuche; bei Berechnung des mittleren Fehlers 2) sind
die Versuche Nr. 177 bis 182 ausgeschieden, da die Fehler
hier wegen der starken Verschwächung des Profils durch
die Nietlöcher so grofs sind, dass diese Versuche eigentlich
gar nicht einbezogen werden dürften; es kann natürlich nicht
verlangt werden, dass die Formeln hier zutreffend sein sollen.
Wenn man daher namentlich die mittleren Fehler 2) ins

1) Modern framed structures, New York 1894, S. 148.

127

128

129

130

131

132

134

135

136

137

138

139
140

141

142

143

146

147

148

149

150

151

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

184

185

186

187

188

190

191

192

193

194

35,4

45,9

39,6

75,7

68,0

98,2

31,6 2740

53,3

2570

2700

2870

2700

2330

2670

1980

90,0

2390

120,7

111,7

1570
1880
94,7 1980
115,0 1410
1030

141,9

163,0

800

191,8

550

[blocks in formation]

2420

2060

1900
1220

680

480
51,2 2250
2030

72,1

92,2

1580

1010

132

172

211

73,7

94,3

830

530

330

134

175

216

2190

1480

1090

2640

2370

2390

2150

2050 2070
1720 (1800) 1660
(860) (860)
(490) (490)
(320) (320)

430

290

220

2210

1770

1270

920

74,8 1960

94,7

1840

1280

750

560

600

380

2330

2150

1220
760

470

mittlerer Fehler {

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[blocks in formation]

2210

2240

1950

1950

(1270)

(1270)

(760) (760)
(500) (500)

2990

2590*

2930

2730

2850

2130

2290

1720

1870

1390

1510

1780

1470

1140

940

740

2410

1920

1520

960

630
440

1970

1420

1030

2210

1870

(1310)

2250 2280
1850 1680
(1310) 1270
(900) 990

(900)

600

380

260.

2440

1970

1570

1040

700

490

2650

2250

1870

1280

890

640

2630

2200

1830

1250

850

610

2150

1780

1250

870

640

2220! 2260 2170
1950 1960 1790
(1240) (1240) 1220
(730) (730) 850
(480) (480) 610

2870

2670

2850

2750

2820

2330

2470

1870

2040

1440

1600

1940

1530

1110

880

660

2560

2100

1610

910

550

370

2160

1480

980

520

300

200

2580

2160

1670

990

620

410

2390

1810

1280

940

2710

2430

2040

1300

820

560

2740

2400

1990

1260

780

530

2350

1940

1250

800

550

2360

1950

1220

780
530

±

+

141,0141,8 185,4 ± 168,5
± 120,3 ± 119,6 ± 173,1 ± 133,1

Auge fasst, so ersieht man, dass die gerade Linie und die
Johnson-Parabel etwa gleich genau sind; die Formel für
exzentrische Belastung ist beinahe ebenso zutreffend, wobei
man inbetracht ziehen muss, dass es natürlich möglich ist,
mit zwei Kurven eine bessere Annäherung zu erhalten als
mit einer, die für alle Werte von x gültig sein soll. Die
Rankine-Kurve dagegen steht den anderen entschieden nach,
ohne dass man sie doch als ganz unbrauchbar bezeichnen
kann. Da sie indessen umständlicher im Gebrauch und, wie
hier gezeigt, zugleich weniger genau als gerade Linie oder
Johnson-Parabel und Euler-Kurve zusammen ist, erscheint es

angemessen, bei den folgenden Untersuchungen ganz von ihr abzusehen.

Wir gehen nun zu den Tetmajerschen Versuchen mit Schweifseisen (Spitzenlagerung) über, wo also nur die gerade Linie und die Johnson-Parabel betrachtet zu werden brauchen. Für die Konstanten ergiebt sich:

2581 und E

=

63069 kg/qcm, 8 = 13,47 gerade Linie: Johnson-Parabel: σ = 2581 Y 0,087. Berechnet man, mit σ 2000000, ↑ nach Gl. (8 a), so findet sich y 0,0844. Die die Euler-Kurve tangirende Parabel ist also auch hier sehr nahezu die bestmögliche. Der Berührungspunkt ist nach (8b) x 124; die gerade Linie 3069-13,47 x schneidet die Euler-Kurve für x= 112. Die Versuche Nr. 59 bis 72 sind einzelne, die übrigen sind Mittelwerte aus je zweien und als solche in die Berechnungen eingeführt. Die (eingeklammerten) Euler-Werte sind mit E=2000000 gerechnet. In der folgenden Zusammenstellung der beobachteten und berechneten Spannungen sind nur Versuche mit <124 aufgeführt.

σ

Versuch

Nr.

123

3

789

[ocr errors]

31

37

9 111,5 1480

38

39

49 50

51

[ocr errors]

62

45,9 2390 39,6 2330 75,7 2160 2050 2080 68,0 2250 2150 2180 98,2 1770 1750 1740 90,0 1940 1860 1880 120,7 1370 | (1360) 1310 70 111,7 1650 | · 1560 1500 14 81,7 2120 1970 2000 71 94,7 1770 1790 1800 114,6 1640 (1500) 1440 72 115,0 1260 (1490)

63 64 66 67 68 69

13 58,2 2470 2290 2290

15

1430 2250

1920

1520 1960 1360 60,2 2410 2260 2270 83,6 2080 1940 1970 1630 1590

90

50,0 2510 2400 2360 91

33

32 70,1 2230 2120 2140 92 107,0 1710
90,3 2000 1850 1870
98 71,9 2140
49,2 2560 2410 2370 99 101,0 1600
69,2 2140 2140 2160
102 50,0 2260
89,2 1580 1870 1890
103 70,0 2110
60,0 2100 2260 2270 104 90,0 2010
84,4 1740 1930 1960
50,6 2360 2390
1560 1600 1550
71,2 1980 2110
51,5 2370 2370 2350110 90,1 1530 1850 1870
71,5 2140 2110 2140
91,5 1800 1840 1850

43
44
45 108,8

2360
2140

59

[ocr errors]

60

σ

beob.

su!

52,0 2250 72.2 2210 92,4 1680

59, 2010 85,3 1810

[blocks in formation]

19 59,8 2510 2260 2270 77 62,1 2270 2230 20 80,3 2130 1990 2020 87,0 1920 1900 21 100,8 1900 1710 1700 79 111,0 1480 1570 25

78

63,6 2170 2210 2230

84,2 2100 1940 26 88,2 1900 1880 1900 85 | 118,5 1350 | (1410) 27 113,0 1400 (1550) 1470

2370 2350 2100 2130 1820 | 1840

¡

2270 2280 1920 1950 1570 1500

Versuch

Nr.

31,6 2540 2640 2490 53,3 2330 2350 2330 35,4 2370 2590 2470

[ocr errors]

84

108 109

[ocr errors]

115 116

121 122

[blocks in formation]

2100

1710

[ocr errors]

2390 2130

1860

2400

2440

2130

1690

236 0 2150

1880

76,3 1810 2040 2070 96,7 1710 1770 74,5 2300 2070 95,3 1860 1790

1770 2100 1790

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[blocks in formation]

y

Berechnet man, mit σ 2971 und E 2000000, y nach (8a), so findet sich 7 0,112; die Uebereinstimmung der bestmöglichen mit der die Euler-Kurve berührenden Parabel ist also hier nicht ganz so gut wie oben, aber doch immerhin recht befriedigend. Die Gältigkeitsgrenzen der beiden Kurven (Schnitt- oder Berührungspunkt mit der Euler-Kurve) sind 93 und x = 115. Bei der Bestimmung der Unveränderlichen für die Parabel sind von den unten genannten Versuchen nur solche, bei denen die Bruchfestigkeit 3500 bis 4050 kg/qcm beträgt, berücksichtigt; für die gerade Linie ist aufserdem der letzte Versuch (mit x = 121) ausgeschieden; den nun gefundenen Gültigkeitsgrenzen zufolge hätte eigentlich für jede Kurve noch ein Versuch ausgeschieden werden müssen. Bei der Berechnung des mittleren Fehlers sind nur die innerhalb der Gültigkeitsgrenzen liegenden Versuche inbetracht gezogen.

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Der mittlere Fehler ist hier bedeutend grösser als bei den Tetmajerschen Versuchen, was zumteil dadurch erklärt werden kann, dass bei jenen die meisten Mittelwerte zweier Versuche sind, während die Ergebnisse Considères alle einzelne sind. Da indes die Fehler immerhin ziemlich grofs sind, soll nachgeforscht werden, ob nicht die verschiedene Festigkeit des Materials als Erklärung dienen kann. J. B. Johnson will mit σ in seiner Formel die Fliefsgrenze bezeichnet wissen; hier ist nun die Fliefsgrenze leider nicht angegeben (und auch nicht gemessen), aber die Bruchgrenze b ist für jede Probe durch Zugversuche bestimmt, und wir wollen daher versuchen, durch Einführung eines gewissen Teiles dieser Bruchgrenze eine bessere Annäherung zu erreichen. Wir setzen also

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(11)

und bestimmen a und nach der Methode der kleinsten Quadrate. Wenn die Parabel auch in dieser Gestalt die Euler-Kurve tangiren soll, so muss sein

α = ·VB.

(12).

Eine ähnliche Umgestaltung der Geraden-Formel, um sie für Material mit verschiedener Festigkeit brauchbar zu machen, ist bekanntlich von Thos. H. Johnson vorgeschlagen, indem er nur solche Geraden anwenden will, die die EulerKurve berühren. Da aber die bestbelegenen Geraden, wie sich auch oben bei der Behandlung der Tetmajerschen Versuche ergeben hat, die Euler-Kurve eben nicht tangiren, so ist im voraus klar, dass man in dieser Weise kaum dieselbe Genauigkeit erreichen kann wie mit der Parabel, und es ist daher von einer solchen Umgestaltung abgesehen.

Die Bestimmung von a und in (11) ergiebt

α = 0,79, $ = 0,67.

Da VB = 0,818, ist (12) beinahe erfüllt. Die nach (11) berechneten Spannungen sind in der folgenden Zusammenstellung mit o bezeichnet.

Das Ergebnis ist also, dass die Geraden-Formel bedeutend weniger zutreffend ist als die Parabel.

2) Flusseisen oder Flussstahl. Hier ist die Festigkeit b des Materials so verschieden, dass es ganz aussichtslos erscheint, eine andere Formel als (11) anzuwenden. Die Bestimmung der Unveränderlichen ergiebt, indem E=2150000 gesetzt ist,

Ɑ = 0,63, p 0,41.

Da VB 0,64, ist die Bedingung (12) sehr genau erfüllt. Die mit α = 0,63, p a2 = 0,40 berechneten und die beobachteten Spannungen sind in der folgenden Zusammenstellung aufgeführt.

31. Dezember 1898.

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Endlich sind noch die Berechnungen für die Versuche (mit Spitzenlagern), die Bauschinger angestellt hat, durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Versuche sind aber unter sich so abweichend und zugleich ist ihre Zahl so gering, dass wir von ihrer Aufführung absehen können. Es soll nur gesagt werden, dass die Formeln (7) und (8) etwa gleich genau (oder ungenau) sind, und dass man mit Gl. (11), wenn man für b die beobachtete Fliefsgrenze einführt, bedeutend bessere Ergebnisse erzielt. Die Unveränderlichen a und ẞ in Gl. (11) werden

α = 0,96, B 0,90, sodass sehr nahe α = V und zugleich a nur wenig von 1 verschieden ist. Der mittlere Fehler ist doch immerhin rd. + 350 kg/qcm.

Wir kommen nun zu den Versuchen mit Flächenlagern, die fast alle auf amerikanischem Boden zu suchen sind. Die hervorragendste Versuchsreihe, die sowohl Schweifseisen als Flusseisen und Flussstahl umfasst, rührt von Christie her ').

1) Schweifseisen. Für die gröfseren Werte von x (x160) passt die Euler-Formel

[blocks in formation]

=

B

π ?E (nx) 2

B

Gerade

Parabel

σ = 3062, 10,45 . 2662, y=0,055

B

B

für 20 Versuche mit

C- und I-Eisen o=2737, ß: 6,81 für alle 57 Versuche 6,2964, p= 8,83

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[ocr errors]

=3217, ẞ=10,10 -2860, 7=0,056

σ=2517, y=0,039

σ ̧=2659, y=0,050

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Die Gültigkeitsgrenze (Schnitt- oder Berührungspunkt π?Ε mit der Euler-Kurve: σ = suche umfassenden Kurven ist x = 165.

(0,59%)) der beiden alle 57 Ver

Die Parabelgleichung kann geschrieben werden:

B

ɣx2

= бB - 12/23 (n x)2, und da die Parabel die Euler-Kurve berühren soll, erhält man zur Bestimmung von n

n2

B

B

Es ergiebt sich in den 4 betrachteten Fällen

(14).

N 0,78,

n

0,73,

N

0,70,

n 0,74.

?

Die so bestimmten Werte von n weichen nicht viel von den in die Euler-Kurve einzuführenden ab, und man sieht also, dass auch hier die bestmögliche Parabel sehr nahe mit der die Euler-Kurve tangirenden Parabel zusammenfällt. Eine

1) Trans. A. S. C. E. April und Mai 1884.

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L-Eisen

E- und I-Eisen

Versuch Nr.

ப்

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7.

10

11 13

15

16

17

18

19

20

21

22

23

25

26

310

311

312

313

[ocr errors]

50

56 58

59

60

61

62

63

64

સે

315

316

317

158

128

153

118

147

103

83

103

59

121

58

58

90

39

40 155 46 142

keine Nummer angegeben

61

30

30

σ

beob.

110

1990

1650 1500 1600 1470
1780 1720 1710 1660
2060
1990
1730 1690
2100 2180

2110

2000 1800

140
98

2180
1750
2320

2130

2230

132

2420

1880

1880 1800 1800

56

2750

2650

2680 2470 2500

75

2650

2460

2540 2300 2380

92.

2710

56

2850

2470 2500

2220 2380 2150 2240
2650- 2680
2520 2590
2840 2780

69

2580

2350 2420 2640 2590

37

2800

46

2750 2740

2560 2550

56

2650 2680 2470 2500

2790 2760
2930

2590 2570 2820 2720 2620

± 249

2880 2460 42 2460 28 2730 mittlerer Fehler 231 134 1590 237 156 1510 238 120 1850 242 131 1880 1810 243. 92 2150 2110 2180 2150 2240 136 2170 1810 1790 1760 1740 30,3 2590 2530 2480 2700 2610 41,1 2380 2460 2450 2600 2580 82,6 1980 2170 2250 2230 2320 2590 2530 2400 2420 2530 2540 62,2 2350 2310 2360 2410 2470 99,8 2170 2060 2130 2080 2170

274 1820 1810 1780 1770 1670 1560 1590 1450 1920 1950 1900 1950 1840 1840 1810

247

37,2 2480 2480 2460 2640

49,7

26,0 2380 2560 2490 2730 2630
34,7 2410 2500 2470 2660 2600
43,4 2390 2440 2440 2580 2570
69,6 2390 2260 2330 2350
27,5 2580 2550 2490 2720

2420
2620

2480

34,4 2470 2500 2470 2660 2600 55,2 2530 2360 2400 2510 mittlerer Fehler 138134 » für alle Versuche 248 238 Im ganzen ist also die Johnson-Parabel genauer als die gerade Linie.

>>>

2) Flusseisen (mild steel). Für die gröfseren Werte von x (x > rd. 160) ist die Euler-Formel sehr zutreffend. Die 11 Versuche ergeben: n = 0,65, mittlerer Fehler +134. Die Behandlung der Versuche mit x <rd. 160 liefert:

gerade Linie: OB 3691 kg/qcm, ẞ= 12,91
Johnson-Parabel: σ = 3145 » y= 0,061.

2800

60

2570

68

2300

45

2320 30 2520 mittlerer Fehler

1380 1410

1580

1720

1470

1460

1860

1830

1510

1530

1700

1990

1960

2200

2000

1990

2060

2450

2240

1800

2670

2260

2340

2740

2730

3080

1340 1250

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1290*

1570

1420

1760

1830

1850

1380

1610 1500

1900

1920

1970

1470

1670

1590

2080

2050

2130

2280

2230 2320

2080

2050

2130

2470

2440

2490

1860

1900

1930

2460

2480

2450

2490

2460

2490

2480 2450
2220

2120

21.70 2260

2650

2430

2580 2620 2580 2430 2460 2470 2750 2610 2750 2610

2610

2430 2460

2350 2410

2700 2700 2610 2430 2480 2360 2430 . 2570 2560 2700 2610.

2590 2750

2550 2610 219235

}

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4480

4480

4070

3780

3760

3420

3150

3120

2800

2580

2350

2260

2350

2260

+168

+134

Die Gültigkeitsgrenze der Parabel ist z rd. 140, die gerade Linie liegt ganz unter der Euler-Kurve. Für die Parabel ergiebt sich die freie Länge nach Gl. (14) zu ́n = 0,68. Die Parabel ist viel genauer als die gerade Linie.

Noch drei kleinere Versuchsreihen mit Flächenlagern sollen untersucht werden, nämlich die von Bouscaren1), Clark, Reeves & Co.2) und Strobel) angestellten, alle mit Schweifseisen und mit Längenverhältnissen, die ausserhalb des Bereiches der Euler-Kurve liegen.

Die Versuche von Bouscaren weisen bedeutende Abweichungen unter einander auf. Wenn die 11 KeystoneSäulen für sich behandelt werden, ergiebt sich:

5524 kg/qcm, 8 = 22,66 4549 » y = 0,117.

3090

3040

2970

2940

2930

2920

2720

2700

1) Trans. A. S. C. E. Dez. 1880:

2) ebenda Jan. 1882. :

3) Z. 1888 S. 1121.

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2470

2190

1930

1600

1600

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gerade Linie: OB 2863 kg/qcm, ß: 10,7 Johnson-Parabel: B 2468 >>

y = 0,068.

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4300

4300

4070

3860

3840

3540

3260

3230

2860

2570

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Für E = 1830000 folgt aus (14) n = 0,90; dass ein so grofser Bruchteil der Länge als freie Länge eingeführt werden soll, deutet an, dass die Versuche nicht sehr genau sind. Für alle 21 Versuche zusammen ergiebt sich dagegen: gerade Linie: OB 2566 kg/qcm, 5,17 ß Johnson Parabel: σ = 2316 »

Ύ 0,025, n = 0,58. Bei derartigen Abweichungen wollen wir von der Aufführung der berechneten Spannungen absehen.

Die Versuche von Clark, Reeves & Co. umfassen nur

31. Dezember 1898.

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B

5) Die Unveränderliche σ, in der Johnson-Parabel ist nicht sehr von der Fliefsgrenze des Materials verschieden; so ist z. B. bei den Tetmajerschen Versuchen mit Flusseisen σ = 2724, Fliefsgrenze rd. 2800, mit Schweifseisen Op 2581, FliefsOB grenze rd. 2400. Dagegen lässt sich kein solcher Zusammenhang zwischen σ in der Geraden-Formel und den Materialeigenschaften nachweisen.

6) Aus 4) und 5) folgt, dass man für ein neues Material, mit dem noch keine Knickversuche angestellt sind, sofort die richtige Johnson-Parabel mit grofser Wahrscheinlichkeit auf

schreiben kann, während man garnichts von den Unveränderlichen in der Geraden-Formel weifs.

7) Die einzuführende »freie Länge«, wenn

man mit Flächenlagern zu thun hat, geht nur für sehr gespreizte Querschnittsformen, wie Quadranteisen und Z-Säulen, auf 0,55 7 bis 0,6 l hinunter; gewöhnlich muss man mit 0,7 l bis 0,sl rechnen.

Weiter besitzt die Parabel noch den Vorzug eines gleichmässigen Ueberganges zur Euler-Kurve. Ein plötzlicher Sprung, wie man ihn mit der geraden Linie gewöhnlich erhält, ist hier nicht zu erwarten, wenn man von analogen Fällen in der Natur schliefsen darf, und der Sprung ist auch nicht dadurch zu erklären, dass er mit der ProportionalitätsDie Proportionalitätsgrenze tritt bei grenze zusammenfällt. Zugversuchen als ein Tangirungspunkt auf und kann daher auch bei Knick versuchen nur einen tangentiellen Uebergang zu einer neuen Kurve bewirken.

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wo nach (8a).

k

Schliesslich ist die Gültigkeitsgrenze der Parabel gewöhnlich höher gelegen als die der Geraden, was den praktischen Vorzug hat, dass man seltener zum Gebrauch der Euler-Formel genötigt wird; wenn noch berücksichtigt wird, dass, wie unten gezeigt werden soll, die Abmessungen von Säulen mit der Parabel weit bequemer ermittelt werden können als mit irgend welcher anderen Formel, so ist man wohl berechtigt, den Gebrauch der Parabel in erster Linie zu empfehlen.

III. Berechnung der Abmessungen.

Alle angeführten Gleichungen sowohl für zentrische als exzentrische Knick festigkeit sind nur bequem, wenn es sich um die Berechnung der Tragkraft einer Säule mit gegebenen Abmessungen handelt. Sollen dagegen die Querschnittsabmessungen bestimmt werden, so ist man gewöhnlich auf Probiren angewiesen. Einige Erleichterung kann man sich durch die folgende Umformung verschaffen; namentlich, wenn man die Johnson-Parabel benutzt, ergiebt sich dabei eine höchst einfache Formel. Es soll daher das Verfahren mit der Parabelgleichung als Ausgangspunkt entwickelt werden Die Parabelgleichung schreibt sich

6 — OB
σ

7' x2 Op (1

k x2),

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Für die Tetmajerschen Versuche ist z. B. bei Schweifseisen: k 0,0000337 > Flusseisen: k = 0,0000316, wonach man für solches Material genau genug k setzen kann. Mit dem einzuführenden Sicherheitsgrade n und

1 30000

Man führt nun die Bezeichnungen ein:

P
Oz

Fo, F = § ¿2

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ફ્રુટ

· (1 − k · 3)

Fo

F k § 12

F Fo + kg 12

(16), wo F die wirkliche (gesuchte) Querschnittsfläche der Säule bedeutet, Fo denjenigen Querschnitt, der notwendig sein würde, wenn nur ein zentrischer Druck ohne Knickgefahr vorhanden wäre, und wo ein nur von den QuerschnittsabF F2 22 Jmin

messungen abhängiger Zahlenkoëffizient 1) ist (5

-).

Man ersieht, dass ein Mafs der Oekonomie des Querschnittes ist, sodass es sehr zweckmäfsig erscheint, sich bei jeder Bestimmung von Abmessungen über diese Gröfse Rechenschaft zu geben.

Aus (15) und (16) folgt:

P

F

(15).

(17).

1) Der Koëffizient § ist früher von Cl. Fidler (»A practical treatise on bridge-construction, London 1893) angewendet, jedoch nur zusammen mit der Rankine-Formel.

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